Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
где do'—элемент телесного угла для направлений к'. Энергия света dl', рассеянного (в 1 с) в телесный угол do', выражается через интенсивность I (плотность потока энергии) падающего сЕета формулой
Будем считать, что длины волн начального и конечного фотонов велики по сравнению с размерами а рассеивающей системы. Соответственно этому рассматриваем все переходы в дипольном приближении. Если описывать состояния фотонов плоскими волнами, то этому приближению отвечает замена множителей е‘кг единицей. Тогда волновые функции фотонов (в трехмерно поперечной калибровке)
В рассматриваемых условиях оператор электромагнитного взаимодействия может быть написан в виде
дипольного момента атома (аналогично классическому выражению энергии системы малых размеров в электрическом поле — см. II, § 42). Его матричные элементы.
Подставив эти выражения в (60,2—3), получим сечение рассеяния (пишем его в обычных единицах)1):
(59,3)
dl’ = 1 -do.
со
К = —dE,
(59,4)
где Ё = — А — оператор напряженности поля, a d—-оператор
vm = — 1 V 2ясо (ednl), V'M = i V 2лсо' (e'*d2J.
(Н. п. i\ramers, W. Heisenberg, 1925) еще до создания квантовой механики.
254
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
Суммирование производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом состояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, поскольку диагональные матричные элементы dn = d22 = 0). Бесконечно малые мнимые добавки в знаменателях соответствуют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (см. III, §43): к энергиям промежуточных состояний Еп, по которым происходит суммирование, добавляется бесконечно малая отрицательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда полюсы выражения (59,5) по переменной Еп попадают в область непрерывного спектра (так, если состояние 1—основное состояние атома, то для этого должно превышать порог ионизации атома)1).
Введем обозначение (обычные единицы)2)
(t, k = x, у, z — трехмерные векторные индексы). С его помощью формула (59,5) перепишется в виде
Обозначение (59,6) оправдано тем, что эту сумму действительно можно представить как матричный элемент некоторого тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную величину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению
Матричные элементы (clk)21 будем называть тензором рассеяния света.
Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния совпадают с правилами отбора для матричных элементов произвольного тензора второго ранга. Сразу же отметим, что если система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь между состояниями одинаковой четности (в том числе без из-
г) Для молекулы роль порога ионизации в данном аспекте играет порог диссоциации на атомы.
2) Большинство дальнейших результатов, излагаемых в §§ 59—61, принадлежит Г. Плачеку (G. Placzek, 1931 —1933).
03rti—*-о — i0
(d-dsn (dft) ni _
r.\ _ - r.\____i'C\
(59,7)
tb + cob = d.
Ее матричные элементы
так что
(c/fc)2i = (M/—dA)*i-
(59,8)
ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ
255
менения состояния). Это правило противоположно правилу отбора по четности при излучении (электрически-дипольном), так что имеет место альтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассеянии —запрещены в излучении.
Разложим тензор cik на неприводимые части:
С/А=С°61Л + С17е + ^Ъ (59,9)
где
<&=4(с,* + са/)-с° (59,10)
Caik = j(Cik-Cki)
— соответственно скаляр, симметричный тензор (с равным нулю следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы:
=¦ К)„,. <59.11)
№)» =4 №)., + №)„,]-<<%«,„
(59,12)
(га \ _ 2СО -f- (0x2 №)зл (^)nl (dfdin (dj)ni /KQ 1
1^21 2 Z- (C0nl-0j)(C0„2+C0) (b9’U^
(знаки обхода полюсов для краткости опускаем).
Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предельных случаях малых и больших частот фотона1).
Для несмещенного рассеяния (о>12=0) антисимметричная часть тензора при со—<-0 обращается в нуль (благодаря множителю со перед суммой в (59,13)). Скалярная же и симметричная части тензора рассеяния стремятся при со—>-0 к конечным пределам. Соответственно сечение при малых со пропорционально со4.
В обратном случае, когда частота со велика по сравнению со всеми существенными в (59,6) частотами соп1, со„2 (но, конечно, по-прежнему длина волны а), мы должны вернуться к формулам классической теории. Первый член разложения тензора рассеяния по степеням 1 /со равен
(о [.(dfdzn (^i)nl (^;)гп (^a)hi] = (dfcdi djdfc)
п
Ли» ^ СлУчаЙ резонанса (когда со близко к одной из частот соП1 или и>2п) Судет рассмотрен в § 63).
256
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[Гл. VI
и обращается в нуль в силу коммутативности d;, dk. Следующий член разложения
1 [®2в (^i')nl (^Лзп®л1 (^a)bi} ^ г'щ2 (^"/А
п
Используя определение d=2jer (сумма по всем электронам в атоме) и правила коммутации между импульсами и координатами, получим
= - т^б,(с,Дх=0, (59,14)
где Z —общее число электронов в системе, /я— масса электрона. Таким образом, в пределе больших частот в тензоре рассеяния остается лишь скалярная часть, причем рассеяние происходит
