Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 87

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 247 >> Следующая

2. Определить полнее сечение радиационной рекомбинации быстрого не-релятивистсксго электрона (/ mv2 тс2) с ядром (заряд Z<^137).
Решение. Сечение захвата на /С-оболочку (главное квантовое число п=1) получается подстановкой (56,14) в (56,15):
of Z=^Z*a?al^yU
(г = mv2/2—энергия падающего электрона; Йсо к* е). Из других состояний образующегося атома существенны лишь s-состояния: при вычислении матричного элемента в борнсвском приближении существенны значения волновой функции связанного состояния при малых г (как это будет видно из вычислений в § 57), а при I > 0 эти значения малы по сравнению со значениями функций с 1 = 0; при этом достаточно учитывать два первых члена разложения ¦ф по степеням г. Для состояний с 1 = 0 и произвольным п эти члены
yW7vTr(,-r)>
т. е. содержат п лишь в виде общего множителя п~’^г (написанное выражение получается разложением функции III (36,13)). Поэтому полное сечение рекомбинации
Ф 00
*рек = V аГ = аГ ? ±= ? (3)
П=1 П—1
(значение g-функции: ?(3)= 1,202).
§ 57. Фотоэффект. Релятивистский случай
Обратимся к случаю
со >/. (57,1)
При этом также е = со — /^>/, и потому влияние кулонового
поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона (яр') может быть
Учтено с помощью теории возмущений. Пишем я)/ в виде
ty' =^={и'е^ (57,2)
244
Излучение
tni. v
Фотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозмущенная функция в (57,2) написана в виде релятивистской волны (23,1).
Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, но в его волновой функции i|? тем не менее должна быть (по выясняющимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка (~Ze2). Такая функция дается формулой (см. задачу к § 39)
(57,3)
где а|!нр —нерелятивистская функция связанного состояния (56,6), а а—биспинорная амплитуда покоящегося электрона, нормированная принятым нами условием ии = 2т.
Подставим функции (57,2—3) в матричный элемент (56,2) »):
Mfi.
= (7е) К1 2m V°w) мгь„р] е-‘ (р-W) г +
+ фш (уе) е‘кгцг|)нр| d3x. (57,4)
Имея в виду получить первый член разложения этой величины по Ze2, мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить -ф„р просто постоянной (Ze2my/*/Уя. Первый же член в результате такой замены обратился бы (при р — к=^0) в нуль (именно поэтому в г|з необходимо учитывать также и первую релятивистскую поправку, пропорциональную Ze2; при 1 эта поправка дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член разложения г|)нр по Ze2).
В первом члене в (57,4) производим интегрирование по частям, переводя действие оператора V с i|5HP на экспоненциальный множитель. В результате получим
М/‘'=2(лж7^{“' ^е) 1 +2^7°7(р-"к) “ (е"2е‘тг)р-к+ф(-к(ve)«|,
(57,5)
х) Функция (57,3) была получена для расстояний г ~ 1 /mZe2, на которых поправочный член в ней относительного порядка величины Ze2. Но для основного состояния (а также и для всех вообще s-состояний) формула (57,3) пригодна для любых г, поскольку производная от чисто экспоненциальной функции (55,6) (а с нею и поправочный член в (57,3)) всегда пропорциональна Ze2. Это обстоятельство позволяет воспользоваться формулой (57,3) в рассматриваемой задаче, в которой (как мы увидим ниже) существенны малые г.
ФОТОЭФФЕКТ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
245
где векторный индекс означает пространственную компоненту Фурье. С точностью до члена ~Ze21)
= (57>6) Для вычисления же компоненты Фурье ^' пишем уравнение, которому удовлетворяет функция
7 о 2
(у"е + i'yV — т) грш = е (у^А^) и'е1 рг =-— у°и'е!рг
(оно получается подстановкой (57,2) в (32,1)). Применив к обеим сторонам этого уравнения оператор (у°е + iy\ -f т), получим
(A -f р2) 1|з(1) = — Ze2 (у°е + iyV + т) (у°и') у е'рг.
Умножим это уравнение на е~‘кг и проинтегрируем по d3x, причем в членах с А и V производим обычным образом интегрирование по частям:
(р2 — к2) =— Ze2 (у°е—ук + т) (у°и') (— ) =
V г /к-р
== —Ze2(2ev° —Y(k-p))(YV)-^^.
В последней строке учтено, что амплитуда и' удовлетворяет уравнению
(еу° — pv — т) и' =0, или (еу° + PY~т) у°и' = 0.
Отсюда находим
№ = 'Фк1>*Т° = 4яZehi' gg+(57j7)
Подставив (57,6—7) в матричный элемент (57,5), представим его в виде
4л‘/,2 (Ze^m)^ .
М,; =-----------—и Аи,
1 (е/л) ^ (к—р)а
*) Взяв компоненту Фурье от обеих сторон равенства
е~Хг
(Д — А2)-^— = — 4яб (г),
получим
( е'Хг\ 4ч
\~Т~ )q==^ + ^' (57,6а)
Дифференцирование этого выражения по параметру Я дает
8яА
246
ИЗЛУЧЕНИЕ
(Гл. V
где
А = a (ye) + (ve) у0 (vb) + (vc) у0 (ve),
I . в I ,___ к—р к—р
а-
(к — р)2 т к2 — р2 ’ 2т (к — р)2 ’ 2т (к2 — р2)'
Сечение
dg= Яи'('1-р})*т1 d0’
где Л=у°Л+у° (см. § 65). Это выражение надо еще просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в § 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности начального и конечного состояний:
Р = у(Тп+1). Р' =у (Т°е—YP + /rc)
(в начальном состояниир=О, г—т). Они приводят к выражению
d<y=z3mlx\Г-р)'Р| SP (Р'АрA)do.
Вычисление следа (с использованием формул (22,22)) представляет собой чисто алгебраическую операцию и приводит к следующему результату:
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed