Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложением (24,12), записав его в виде
во I
^ = 4я? ? (46,3)
l=0m=-l 4 ' v '
gl{kr)^YmJl^^kr)> <46’4)
(см. Ill (34,3)) ^ Подставив это разложение в (46,2), получим j e~*'Y'im (n) don = 4лi-igj (kr) Y',m )
(остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности щаровых функций). В силу условия а/Х<^1 в интеграле по d3x будут играть роль лишь расстояния, для которых kr<^. 1. Поэтому можно заменить функции gj (kr) первыми членами их разложений по kr 2):
«/<*') <46-5>
В результате получим
v„=„ №»_(46,6) где введены величины
mbi -Y щт.J wr/y^ (f) d°x (4б>7)
1) Нормировка функций gi такова, что их асимптотический вид при kr -у ов
, sin (kr—nl/2) ... . ,
gi (kr) *---^---------- • (46,4а)
2) Степень kr совпадает с порядком функции Yjm, в произведении с ко-
торой выступает gj. Тем самым оправдывается пренебрежение членами в А,
содержащими шаровые функции более высокого порядка.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
197
(напомним, что Fy,_m = (—1 )J~mY*m). Величины (46,7) называют 2J-польными электрическими моментами перехода системы по аналогии с соответствующими классическими величинами (II, §41)1).
Для электрона во внешнем поле р/г- = ijyt,-, и тогда величины
(46,7) вычисляются как матричные элементы от классической величины ______
0<Э) = 1/ 4л— rJ'Y ¦
Ч‘т V 2/ + 1 1 Jm-
В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент перехода может быть в принципе вычислен аналогичным образом для любой системы N взаимодействующих частиц. При этом плотность перехода выражается через волновые функции системы в виде
N
P/i (г) = Jilv (Гх, • • • ,rjv) “ф, (г*, • • ¦ ,rjv) 2^ (г — о • <Рх1... d3xN, (46,8)
где интеграл берется по всему конфигурационному пространству а).
Использованная нами волновая функция фотона соответствует (в координатном представлении) нормировке на 6-функцию по шкале со, как и предполагается в формуле (44,2). Подставив в нее
(46,6), получим вероятность f/'-излучения3)
,(,,«) —2 (2/ + 1) (/ + 1) „ /+1 2 | /ЛО) \ |3 /ЛС п\
im----71 (2/+1)7']2 \Wl,-m)fi\- (40,У)
В частности, при j = 1 имеем
<i = ^V|(Qi?-m)/i|#. (46,10)
Величины Q[fn связаны с компонентами вектора электрического
дипольного момента формулами
eQ%> = id,, cQ<f ±1 = =F (dx ± idy). (46,11) Просуммировав (46,10) по значениям m, мы вернемся, как и
1) Мы определяем мультипольные моменты без множителя е в соответствии с тем, что и токи определены в этой книге без зарядового множителя.
) Может иметь место ситуация, когда вероятность перехода обращается в нуль в силу приближенных правил отбора, справедливых лишь при пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием электронов. В таком случае Для получения отличного от нуля результата надо пользоваться волновыми Ч’УВДЧиями с релятивистской поправкой, учитывающей это взаимодействие, стояв первый взгляд могло бы показаться, что в силу изотропии про-
ченыНства полная вероятность испускания фотона не должна зависеть от зна-Фотон т' t*T0 эт0 не так’ легко понять, если заметить, что для испускания ов с различными значениями т должны быть различны конечные состоя-нстемы (при заданном ее начальном состоянии); ср. ниже правило (46,16).
198
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
следовало, к уже известной нам формуле (45,7) для полной вероятности дипольного излучения.
Угловое распределение мультипольного излучения определяется формулой (7,11). Нормируя ее на полную вероятность испускания Wjm, имеем
dwjm = I (n) I2 wjJ° = JJffT) I I2 do- (46>12)
В частности, для j = 1
Уц> =1 |/~cos0. Y\. ±1 = +1' з1п0‘е±гф>
где 0, ф — полярный угол и азимут направления п относительно оси 2. Вычисляя градиент, найдем, что угловое распределение дипольного излучения с определенными значениями т дается выражениями
d®lo = ^io-J^sin20do, dwu ±1 =wu ±i -J^-+c2°--9cfo. (46,13)
Их можно было бы, разумеется, получить и из формулы (45,6), положив в ней один раз (для т — 0): dx = d,) = 0, de = d, а другой раз (m=±I): dy = =F idx = d/\/r2, dz = 0.
Если порядок величины размеров системы (атома или ядра) есть а, то порядок величины электрических мультипольных моментов есть, вообще говоря, Q‘/% ~ а1. Вероятность же мультипольного излучения
wf^ ~ ak {kafj. (46,14)
Увеличение степени мультипольности на 1 уменьшает вероятность излучения в отношении ~ (ka)2.
Законы сохранения момента и четности приводят к определенным правилам отбора, ограничивающим возможные изменения состояния излучающей системы. Если начальный момент системы равен J^ то после излучения фотона с моментом j момент системы может принимать лишь значения Jf, определяющиеся правилом сложения моментов (J; — =
\J i — Jj | ^ j ^ -f- J j. (46,15)
При заданных значениях /,• и Jf тем же правилом (46,15)
определяются возможные значения момента фотона /. Но поскольку вероятность излучения быстро убывает с увеличением /, то излучение происходит в основном с наименьшей возможной
мультипольностью.
Проекции Мi и М/ моментов J,- и вместе с проекцией т Момента фотона удовлетворяют очевидному (из того же закона
электрическое мультипольное излучение
