Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
= (-1)'+\ (47,10)
получающееся подстановкой в (46,17) четности М/-фотона: Рф =
§ 48. Угловое распределение и поляризация излучения
Выведенные в §§ 46 и 47 формулы относились к испусканию фотона с определенными значениями момента j и его проекции т. Соответственно предполагалось, что и излучающая система (скажем, ядро) до и после испускания обладает не только определенными значениями момента J, но и определенными поляризациями, т. е. значениями М.
Рассмотрим теперь более общий случай излучения частично поляризованным ядром (размеры которого по-прежнему предполагаются малыми по сравнению с длиной волны). Испускаемый фотон по-прежнему обладает определенным моментом j, но может быть частично поляризован. Найдем вероятность испускания как функцию направления п фотона. Она должна быть выражена через матрицы плотности, описывающие поляризационные состояния ядра и фотона.
Для этого предварительно напишем вероятность испускания как функцию направления п и спиральности Я фотона (Я = ±1) для случая, когда начальное и конечное ядра обладают определенными значениями: J{Mt и JfMf.
Матричный элемент испускания фотона с определенными ]т пропорционален матричному элементу 2-,-польного (электрического или магнитного) момента ядра:
Волновая функция испущенного фотона (в импульсном представлении) пропорциональна Yjm(n) или Yj^(n). Волновая же
(47,9)
=(-!)/«
jm\V\J cv> (—\)т (J _т j J iMfy. (48,1)
§ 48.1 УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 203
функция фотона с импульсом в направлении п и спиральностью Я, пропорциональна вектору поляризации е(Ч Матричный элемент испускания фотона пЯ, получится перемножением (48,1) с проекцией волновой функции состояния | /т> на волновую функцию состояния j пА,>:
<//М/; пА. | V | cv (_1)« <JfMf | Qy, _m | 7fAf,> (е<*>* Yy J. Согласно (16,23) для фотонов обоих типов
(п) ос D^m (п). (48,2)
Матричный же элемент мультипольного момента выражаем обычным образом через приведенный элемент. В результате получаем амплитуду вероятности перехода в виде
\J,-М , + т ( Jf / JI
ч
(48,3)
где Q обозначает <//.||Q||/i>.
Теперь мы можем перейти к общему случаю смешанных поляризационных состояний. Согласно общим правилам квантовой механики вероятность перехода будет пропорциональна выражению *)
nl\V\JiMiXJiM'f, nV 1 Vi /г.м;->*х
(т)
х <М{ I р<'> I М;-> <Mj I р"> 1 М;> <r I p<v> I К>, (48,4)
где p<n, р*/’, p(v)—матрицы плотности начального ядра, конечного ядра и испущенного фотона; символ (т) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем дважды пов-
х) Если начальное и конечное состояния системы описываются суперпозициями
¦Ф(/)=2 antn\ =2
п т
ТО матричный элемент
<fW\i> = '^lbtmanVmn,
тп
а его квадрат
1 Kf | У | i) |2 = ^ VтпУтп'п'йп&п'Ьт'Ьт.
пп’тт1
Переход к случаю смешанных состояний осуществляется заменой
. &пап* > pnn't Ьт'Ьт —>¦ Prn'm>
*tK ЧТО
l</|V|(>ls—»- 2 VmnV^n^'P^m.
пп’тт'
204 ИЗЛУЧЕНИЕ [Гл V
торяющимся /я-индексам (M^'iMfM'fkk'). В (48,4) надо подставить (48,3).
Обозначим вероятность испускания фотона в телесный угол do через ш(п)с(о. Полная вероятность испускания по всем направлениям и со всеми поляризациями фотона и вторичного ядра не зависит, очевидно, от начального поляризационного состояния ядра. Она дается уже известными нам формулами и нас здесь не интересует. Поэтому условимся нормировать вероятность ау(п) на 1. Для нее получается1)
а» (n) = (2/+1)gfi+1) ? DX& X
(m)
х(_2, л м,)(-м; Л' *;)<". 1р‘"И;>х
х <M'f I p<f> I Mf> <Я' I p<V) | Я>
(в правильности нормировки мы убедимся ниже). Преобразуем эту формулу, разложив произведение двух D-функций в ряд III (110,2)
= (-l)-»2(2Z.+ l)(' _'v Л) (i, _!т,
(индексы Л = Я —Я', — m — L—целые числа, L^2/). Таким
образом, получаем окончательно
w (П) = (2/+ 1}8(л2У,+1} X ? (-\fJrMr<+m+\2L+ 1) х
L (ту
хС 1 1 L )( Jf ’ Ji)( Jf¦ 1 Ji .)x
— V — A) \m —m' — Mf —m M;J \ —Mf —m' k— Mi) *
XD% (п)<Мг|р('>|УИ;> <M'f ] p‘ft I Mf> <Я' I p<v> I Я>. (48,5)
Как и выше, 2 означает суммирование по всем (дважды повто-
(т)
ряющимся) /л-индексам. При этом надо помнить об отличии индексов Я, Я' от остальных /л-индексов: суммирование по ним производится не по всем 2/-J- 1 возможным (при данном /-индексе) значениям, а лишь по двум значениям: Я, Я' = ±1, отвечающим двум поляризациям фотона.
Формула (48,5) содержит в себе всю необходимую информацию об угловом распределении испускаемых фотонов и их поляризации, а также о поляризации вторичных (т. е. испустивших фотон) ядер. При этом подразумевается, что начальная матрица плотности задана.
г) При преобразованиях знакового множителя можно пользоваться тем, что числа 2J„ 2Jр 2М,-, 2Mf одинаковой четности. Напомним также, что числа /, т целые, а Л = ± 1.
§ 48] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 205
Угловое распределение
Угловое распределение фотонов получится суммированием по всем поляризациям фотона и вторичного ядра. Усреднение по Поляризациям осуществляется подстановкой матриц плотности неполяризованных состояний:
<a,|p‘v>|a/> = i-6u„ <Mf I р<Я I M[> = 2j~pi , (48,6)
