Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 73

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 247 >> Следующая

после чего суммирование сводится к умножению на 2 (для фотона) или на 2JfJrl (для ядра). Другими словами, суммирование осуществляется просто заменой
<Я| p‘V) | v> — <м?|рф |^;> — 6MfM'r (48,7)
Таким образом, угловое распределение
- (п) = (2;+1^+1) ? ? (_1)m'+i (2L + 1) D$ (п) X
L (т)
Х(1 I L)(l i L \( Jf / Jt\
—к 0) \т —т’ —цу у—Mf —т М,)
х(_«' «о <м.|р«мм;>.
Эту формулу можно существенно упростить, произведя суммирования по т-индексам.
Прежде всего замечаем, что
(1 Л * «)• w
и потому сумма
S С1 i L) = ( 2 (i -I о) ПРИ четных L-
я,= ±1\Х к 0) | q Прй неценных
Таким образом, в сумме по L остаются лишь члены с четными L, т- е, в нее входят шаровые функции (D&’) лишь четных порядков. Этот результат можно было предвидеть заранее: в силу
^охранения четности вероятность должна быть инвариантна по Отношению к инверсии, т. е. к замене п—»¦-—и.
Таким образом,
i\vji+»^(2L+1)({
L 4 (m)
м,)(Л, -I Mi) i p1" i л!;>.
206 ИЗЛУЧЕНИЕ [Гл. V
Отметим, что здесь легко проверить нормировку: в силу формулы
после интегрирования по направлениям остается лишь член
с L = |x=0; с помощью формул
(i i °\=(_I)/-»» , 1 —
\т — т 0J ' J/2/ + 1
V ( J/ 1 J‘ V — 1 Sdd‘')=1
LAK-Mf -m Mt) 2У j -f-1 ’ ЬРР
убедимся, что интеграл равен 1.
Дальнейшее суммирование по mm'Mf во внутренней сумме в о>(п) производится с помощью формулы III (108,4). В результате получим для углового распределения фотонов следующую окончательную формулу:
ш(п) - (— i)1+Jt+J/M±lL^ii±Lx
x^L(-i)LV2L+i (j _/ 0L) {'* |'^2W(n). (48,9)
где обозначено
Щ = iL V(2L + !) (2J t + !) S, (-1 )JrM'i ( Jt, L Jj)x
m-m( \—Mi ц Mil
x <Mt | p‘« | m;->,
S»$T = (-l)1-^ -д. (48,10)
Внутренняя сумма в (48,9) берется по всем ||x|^L, а внешняя — по всем четным значениям L, удовлетворяющим условиям
L<2/, L<27,. (48,11)
(эти условия —следствие правила треугольника, которому должны удовлетворять /-индексы в 3/-символах, фигурирующих в (48,9—10)). В силу этих условий число членов в сумме обычно невелико. Так, при Jt = 0 или V2 остается лишь член с L = 0, т. е. излучение изотропно (легко убедиться в том, что член с L = 0 равен 1/i, как и должно было быть по условию нормировки). При Ji = 1, 8/2 или при /=1 в сумме по L остается два члена: L — 0, 2. Отметим также, что если матрица плотности р*'* диагональна (М,- = М'(), то ц = 0, и функция распределения (48,9) принимает вид разложения по полиномам Лежандра (согласно
(16,5) и III (58,23) функции D& сводятся к функциям /^(cosB)). Наконец, если
<Мг-1 р(/) | М(> =27'''+1
§ 48] УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 207
т е. начальное ядро не поляризовано, то все 55l/i = 0, кроме
Величины — удобные характеристики поляризационного состояния ядра; назовем их поляризационными моментами. Формула (48,10) определяет эти величины через матрицу плотности Рмм" Прямой проверкой легко убедиться в справедливости обратной формулы, выражающей эту матрицу через поляризационные моменты:
= ? 'И)Ъ,. (48,12)
Пусть —некоторый сферический тензор, зависящий от поляризационного состояния ядра. Согласно общим правилам (см. III (14,8)) его среднее значение в состоянии с матрицей плотности дмм, равно
7lh= Sp MM.<JM'\fL»\JM>. (48,13)
ММ1
Выразив матричные элементы величин fLll через приведенный элемент </||/z||^> согласно
<JM' | fbД | JM> = iL i-iy-*' (_ JM, ^ JM)<J II fL II J>
и введя поляризационные моменты согласно определению (48,10), получим
JLll= д> (48 14)
1 * Y(2L+1) (2J +1) ц v . /
Поляризация фотона
При заданных (наряду с р<п) матрицах р(т) ир(/) формула (48,5) определяет вероятность перехода с испусканием фотона и оставлением ядра в определенных поляризационных состояниях. Эти
х) Действительно, заметив, что
(-лг о м)= {)J~M jAgJ+T 6мм’’
имеем
? м)8мм' =
~ ^2У + 1 (_ М' (i м){—м’ 0 м) = |/Г2У + 1 6io6^*
после чего из определения (48,10) находим указанный результат.
208
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
состояния являются по существу характеристикой не процесса излучения как такового, а тех детекторов, которые регистрируют фотон и ядро отдачи, выделяя их определенные поляризации. Более естественна другая постановка вопроса, в которой конечное состояние системы «ядро + фотон» заранее не фиксируется, и требуется определить поляризационную матрицу плотности этого состояния при заданном лишь направлении испускания фотона.
Ответ на этот вопрос дается той же формулой (48,5). Если представить ее в виде
w = w{n)^(M,\ nl\p\M's\ пА/> <А/ | p<v> | Я> <M'f | р(^ | Mf>, (48,15)
(m)
то выражение <Mf; nX|p|M;; n5t'> и будет искомой матрицей плотности, так как согласно общим правилам квантовой механики вероятность w перехода в наперед заданное состояние дается ее «проекцией» на данные р(^р(/). Множитель w (п) выделен в (48,15) для того, чтобы эта матрица была нормирована обычным условием
2 <УИ/, nJUplM/, n^> = 1. ъм{
Если мы интересуемся поляризацией только фотона, то надо просуммировать по =
<пА,| р | пА/> =2 <Mf\ пЯ,|р| М/, пА/>.
Mf
Вполне аналогично выводу формулы (48,9) получим <пЯ [ р | пГ > = (-1)1++J/(2/ +1) 2/, + - х
8лш (п)
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed