Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
dwen = ^ | e*j/;- (k) \*do, (45,2)
где
]'л(к )^]rf^re-iktd3x. (45,3)
Суммирование по поляризациям фотона осуществляется путем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендикулярной заданному направлению n = k/co), после чего результат умножается на 2 соответственно двум независимым возможностям поперечной поляризации фотона1). Таким образом, получается формула
dwn — б2 1 [п)/г- (к)] |2 do. (45,4)
Очень важен случай, когда длина волны фотона К велика
по сравнению с размерами излучающей системы а. Такая си-
туация связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света. В первом приближении по аД (соответствующем дипольному излучению —ср. II, § 67) в токе перехода (45,3) можно заменить единицей множитель е~‘кг, мало меняющийся в области, где ф(- или заметно отличны от нуля. Такая замена означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе.
В том же приближении интеграл ifi (0) может быть заменен его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным элементом \fi скорости электрона по отношению к шредингеровским
J) Для усреднения используется формула
= y ЩЧ) (45,4а)
или
(ае) (be*) = -^-{ab — (ап) (bn)}=y [ап] [Ьп], (45,46)
гДе а, Ь—постоянные векторы.
194
ИЗЛУЧЕНИЕ
[Гл. V
волновым функциям. В свою очередь этот элемент v/(- = — йогу,-, a er/i = dfi, где d — дипольный момент электрона (в его орбитальном движении). Таким образом, находим следующую формулу для вероятности дипольного излучения:
dwen = ^ | e*d/(-1* do (45,5)
(направление п фигурирует здесь в неявном виде: вектор е должен быть перпендикулярен п). Просуммировав по поляризациям, получим
dWn = ¦|rl[nd/1]l2do- (45>6)
Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) характера этих формул их обобщение на любые электронные системы
очевидно: под Afi надо понимать матричный элемент полного
дипольного момента системы.
Проинтегрировав формулу (45,6) повеем направлениям, найдем полную вероятность излучения:
W^\dfi\\ (45,7)
или в обычных единицах:
(4Wa)
Интенсивность I излучения получается умножением вероятности на Йсо:
/ = |?- (45,8)
Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (см. II (67,11)) для интенсивности дипольного излучения системой периодически двужущихся частиц: интенсивность излучения частоты cof = so) (где со — частота движения частиц, s — целое число) равна
4<в|
~W
(45,9)
где df — компоненты Фурье дипольного момента, т. е. коэффициенты разложения
00
<1(0= 2 (45,10)
S= — 00
Квантовая формула (45,8) получается из (45,9) заменой этих компонент Фурье матричными элементами соответствующих переходов. Это правило (выражающее собой принцип соответствия
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
195
Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовыми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. III, §48). Излучение квазиклассично для переходов между состояниями с большими квантовыми числами; при этом частота перехода tm = Ei~Ef мала по сравнению с энергиями излучателя Е( и Ef. Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо изменениям в виде формулы (45,8), справедливой для любых переходов. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и в общем квантовом случае.
§ 46. Электрическое мультипольное излучение
Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в заданном направлении (т. е. с заданным импульсом), рассмотрим теперь излучение фотона с определенными значениями момента / и его проекции т на некоторое избранное направление z. Мы видели в § 6, что такие фотоны могут быть двух типов— электрического и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического типа. При этом мы снова будем считать размеры излучающей системы малыми по сравнению с длиной волны.
Вычисления удобно производить с помощью волновых функций фотона в импульсном представлении, т. е. представив 4-вектор А» (г) в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент
Vfi = е j if (г) Л* (г) сЕх = е j d*x.j?t (г) j Л*, (k) е~*' (46,1)
(для упрощения записи формул опускаем индексы со/m у волновых функций фотона).
Для ?/-фотона берем волновую функцию из (7,10), выбрав произвольную постоянную С равной
Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных компонентах волновой функции (А) сократились члены, содержащие шаровые функции порядка / — 1 (как это видно из формул (7,16)). Тогда А будет содержать только шаровые функции порядка / + 1, в результате чего соответствующий вклад в Vf{ окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления) более высокого порядка малости (по а/Х), чем вклад от композиты Л° = Ф, содержащей шаровые функции более низкого по-Рядка /.
где
196 ИЗЛУЧЕНИЕ [Гл. V
Таким образом, полагаем
Л» = (Ф, 0), ф = -|/1 + Г^6(|к|-щ)К/1.(п)
(п = к/со). Подставив это выражение в (46,1) и произведя интегрирование по d | к |, получим
Vf' = ~eY Lyi-&Jd'*-P/Hr)j,do»e-‘kry/»(n). (46,2)
