Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(1) a„,n> 0; an,m<0, если тфп- я„. m = am.
(2) аПш,1+1Ф 0;
(3) |an, n|>2 la,,.», I-
тфп
Из свойства (2) следует, что матрица является неприводимой; физически э го означает, что нейтрон из произвольной данной точки может попасть в любую другую точку пространственной сетки. Свойство (3) устанавливает пренмуще-
109
ство диагональных членов, т. е. то, что сечение о0, определенное в соответствии с уравнением (3.6) и в предположении, отмеченном после уравнения (3.1), является положительным. Тогда говорят, что А является неприводимой диагонально преобладающей матрицей. Это свойство гарантирует, что матрица невырожденна и что существует обратная матрица; в этом случае и решение
для ф, определяемое уравнением (3.26), существует [71.
До сих пор ничего не говорилось об условиях на поверхностях между областями, указаннымн на рис. 3.2. В действительности эти условия автоматически удовлетворяются разностными уравнениями. Рассмотрим очень мелкую пространственную сетку, такую, что все значения А стремятся к нулю вблизи поверхности при хи. Тогда из уравнений (3.16) — (3.18) следует, что и ф, и J являются непрерывными функциями при пересечении поверхности.
При выводе конечно-разностных уравнений для Р^приближения использовались конкретные аппроксимации интегралов, входящих в уравнения (3.14) и (3.15). Другие простые аппроксимации привели бы к разностным уравнениям, аналогичным уравнению (3.20), за исключением того, что коэффициенты аПуТ11 в них были бы несколько отличными от рассмотренных, однако эти коэффициенты вновь имели бы отмеченные выше свойства. Диффузионное приближение приводит к таким же разностным уравнениям, хотя и с другими коэффициентами. Так как диффузионное приближение используется очень широко, то интересно получить соответствующие конечно-разностные уравнения.
3.2.4. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Диффузионное приближение можно рассматривать эквивалентным первому уравнению Рх-приближения, т. е. уравнению (3.7):
+O0(X) ф W = Q0W (3.30)
ах
змее те с законом Фи ка
J(x)= -D(X) (3.31)
dx
Конечно-разностное уравнение, соответствующее уравнению (3.30), имеет такой же вид, как и для уравнения (3.7), а именно (3.16). Для токов в точках
хк+і/2 и *fc-i/2 уравнение (3.31) можно аппроксимировать выражениями
/*+1/2 &-Dk+и2 фь+1~фк ; (3.32)
Aft+ 1/2
Jk-i,2~-Dk-l/2 . (3.33)
1/2
Подставляя соотношения (3.32) и (3.33) в уравнение (3.16), получаем ко-нечно-разностное уравнение, имеющее вид (3.20), с коэффициентами
п °Ь+1/2
ак,к+1— *------— ак+1, кг
afc+l/2
ак, к = ^ok ак, h-І — ак, Ь+Г»
Dk_ ,/о
к-1 — 7 — 1, к»
А/г- 1/2
Sk — Afc Qok ¦
Вновь можно показать, что элементы матрицы А имеют отмеченные выше свой ст ва.
HO
При выводе конечно-разностных уравненийрассматривалась пространственная область, расположенная между точками хк^/г и хк+1/г. Различные члены в уравнении имеют вполне определенный смысл при нахождении баланса нейтронов в этой области. Более подробно это показано ниже при рассмотрении конечно-разностных уравнений в сферической геометрии. Таким образом, конечно-разностное уравнение можно рассматривать как уравнение баланса нейтронов для небольшой области в системе. В конечно-разностных уравнениях особенно важно обеспечить это свойство сохранения числа нейтронов, чтобы можно было прослеживать судьбу всех нейтронов деления при численных расчетах. В расчетах критичности баланс между производством и потерей нейтронов носит, конечно, решающий характер, следовательно, существенно, чтобы нейтроны искусственно не возникали или не исчезали.
3.2.5. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Р^-ПРИБЛИЖЕНИЯ
В предыдущих разделах описывался численный метод решения уравнений P1-и диффузионного приближений в плоской геометрии. Уравнения Рдг-приближения для более высоких значений N можно привести к системе разностных уравнений подобным же образом. Существует несколько методов решения этих уравнений [8], и один из наиболее гибких методов описан в гл. 5. Кроме того, в разд. 3.5.2 показано, что в плоской геометрии «двойное P.v-приближение» оказывается лучшим, чем простое Рд>-приблнжение. Некоторые результаты, полученные этими двумя методами, представлены в гл. 5.
3.3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТОКА В СФЕРИЧЕСКОЙ И ПРОИЗВОЛЬНОЙ геометриях
3.3.1. РАЗЛОЖЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, можно использовать сферические координаты. Ниже показано, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Р^приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2.
