Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белл Д. -> "Теория ядерных реакторов" -> 51

Теория ядерных реакторов - Белл Д.

Белл Д. Теория ядерных реакторов — Москва, 1974. — 494 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyayadernihreaktivov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 264 >> Следующая


Систему уравнений (3.16), (3.17) и (3.18) вместе с граничными условиями можно решить непосредственно. Ho чтобы использовать решение в многогрупповом диффузионном приближении, рассматриваемом в гл. 4

xk+ 1/2

xIt- I /2

xk+ 1 /2

3.2.3. РЕШЕНИЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Р|-ПРИБЛИЖЕНИЯ

107
удобно решить уравнения (3.17) и (3.18) относительно Jh+ц.2 и Jk-H2 и подставить полученные результаты в уравнение (3.16). Тогда получим следующее соотношение:

ак, Ь-l Ф k-l + ah, k Ф k k-rl Ф /t+І = sfe> (3.20)

где коэффициенты ак,к-1г ah,k ¦ и ak,k+1 определяются в виде

1

ak, k+i —

ah, k-l—

3oft + 1/2 Дй + 1/2

3oft — I /2 Дй— I /2

— Д/t-l, k<

ak, k — bok ak, k-l ak, Jfe+1’

a sk представляет собой член источника:

^l ,*+1/2 . Ql .ft — 1/2

sk — Qi

Oh'

За

’*+ 1/2

За

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

k- 1/2

Уравнение (3.20) можно вывести для k = 1, 2, ..., К—1, так что имеется К—1 уравнений ДЛЯ К + 1 неизвестных ПОТОКОВ нейтронов ф о, ф1г ф 2, ..., ф%. Недостающие два уравнения должны быть получены из граничных условий. Для границы с вакуумом (граничное условие свободной поверхности) удобно и достаточно точно для большинства расчетов в Рх-приближении просто положить ф0 = фк = Опа некоторых экстраполированных границах X0 и хк. При таких граничных условиях ф0 и фк можно исключить из системы уравнений (3.20) и значит сделать равным число неизвестных и число уравнений.

Если определить векторы ф и s, имеющие в качестве своих компонент значения {фк} и {sh}, как

Ф =

Фо ф 1 Ф 2

S =

ф

к

iK

а матрицу А с компонентами a n m в виде

A =

CL10 CL11 CL12

о

о о

о

о

#21 ^22 ^23

^32 ^33

о-кк

то уравнение (3.20) можно записать в матричном виде

А ф =s.

(3.25)

Напомним, что в этом уравнении А и s известны, а ф следует определить. Формально, если существует матрица, обратная А, т. е.А-1, такая, что произведение А-1 • А равно единичной матрице I, то уравнение (3.25) можно умножить на А-1 и решить его относительно ф, т. е.

~ф =A-1S. (3.26)

Следовательно, задача нахождения пространственного распределения потока нейтронов сводится к задаче обращения матрицы А.

108
Для рассматриваемого случая все значения ап т равны нулю, за исключением тех, для которых т = п—I, п, п + 1. Поэтому можно легко провести обращение матрицы. В данном случае можно, однако, использовать и более

прямые методы нахождения потока нейтронов </>. В качестве примера описан метод исключения Гаусса. Начиная рассмотрение с уравнения (3.20) для k — 1 и используя граничное условие ф0 = 0 (или какие-либо другие граничные условия, исключающие ф0), можно записать

ап фі 4" ^12Ф 2 = si> (3.27)

и, следовательно,

, —O12 Ф2 + sI

ф1 =----------- .

aH

Затем, рассматривая уравнение (3.20) для k = 2, находим, что

а2іфі + а22ф2 + а25ф 3 =- s2. (3.28)

Подставляя в уравнение (3.28) значение для фу, полученное в уравнении (3.27), решаем его относительно ф 2 через ф 3. Повторяя этот процесс, можно получить уравнение (3.20) для k = К — 1, и так как ф к = 0, то

ак— і ,/<-2 Фк —2 jraK-\ .к— і Фк — і = sK- і • (3.29)

Однако выражение для ф к-2 через фк-\ было получено из предыдущего (k = = К — 2) уравнения, поэтому уравнение (3.29) можно решить, получая явный вид фк-i-Цепочку уравнений затем можно пройти в обратную сторону,

находя другие значения фк. Можно показать, что, поскольку диагональные

элементы матрицы А больше, чем недиагональные, эта схема оказывается

устойчивой при численных расчетах [5]. Описанный метод часто называется методом прогонки [6]. Такое название объясняется тем, что для определения решений требуется проводить расчет в двух направлениях: один — в направлении возрастания х, а другой — в направлении убывания х.

Существенным моментом метода прогонки является то, что на каждом шаге уравнение, подобное (3.27), решается для отдельной компоненты ф k, которая имеет наибольший коэффициент, а также то, что ф k исключается из следующего уравнения. Если бы была принята обратная процедура, а именно если бы уравнение (3.27) решалось относительно ф2, выраженного через ф 1; а ф1 прогонялось через цепочку уравнений, то коэффициент перед ф j возрастал бы экспоненциально и мог стать настолько большим, что метод оказался бы неустойчивым относительно ошибок численного округления.

Решение в приведенном выше случае имело простой вид из-за того, что матрица А была трехдиагональной. Другими словами, в ней отличны от нуля только члены, расположенные по главной и по двум соседним с ней диагоналям. Однако, когда рассматривается неодномерная геометрия, то матрица становится более сложной и для ее обращения применяются другие методы, чаще всего итерационные, а не прямые. В этих методах используются некоторые общие свойства матрицы А, которые особенно наглядно проявляются в уже рассмотренном простом случае. В частности, из определений коэффициентов ah-h< аь, її+.і fCM- уравнения (3.21) — (3.23)] очевидно, что элементы матрицы А имеют следующие свойства:
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 264 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed