Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для системы, симметричной относительно некоторой точки, поток нейтронов является функцией только расстояния г и величины р = ft • г (см. разд.
1.3. J). Выражение для Q • V Ф дается в этом случае уравнением (1.32), в котором N заменяется Ф. Следовательно, стационарное односкоростное уравнение переноса в сферических координатах имеет вид
ay(f,iO ф =
дг г дц
оо 1
= 2 МОЛ (И) S ф(''- Vl Pi (V-') dp'+Q (Г, Р), (3.34)
(=0 1 -I
где, как и при вызоде уравнения (3.4), функция рассеяния раскладывается в ряд по полиномам Лежандра и используется теорема сложения для этих полиномов, а также свойство азимутальной симметрии потока нейтронов.
ьслн теперь разложить Ф и Q в ряды по полиномам Лежандра, как в уравнениях (2.80) и (2.81), и провести те же преобразования, что и в разд. 3.1.2 для
ill
плоской геометрии, то получим, что все члены в уравнении (3.34), за исключением [(1—іх2)/г\ • дФ/дц, соответствуют членам в уравнении (3.5). Чтобы оценить этот отличающийся член, можно использовать соотношение
(1 _ г) _ »l<2!±1) Г р ( ) _ р (|i)l.
dp 2т +1 L J
Выражение, которому удовлетворяют коэффициенты разложения фп(г) в сферической геометрии, эквивалентное уравнению (3.5), тогда есть
(Л+1)1 Фп+і(г)+п(-ї--H ф п — 1 (г) +
\ dr г ! V dr г )
+ (2л + 1)ап(г) фп(г) = (2 л + I)Qn(г), л = О, 1,2,3... (3.35)
Эта бесконечная система уравнений аналогична системе для плоской геометрии, и здесь можно использовать P1-приближение и те же численные методы, что и в плоской геометрии. Граничные же условия в этом случае несколько отличаются от условий для плоской геометрии.
Два уравнения Рх-приближения в сферической геометрии имеют вид
("J"+-"+W-MoW Ф W = QoW; (3 36I
^+30l (^W = SQ1W. (3.37)
dr
где, как и раньше, ф и J (г) заменяют ф0 и фг соответственно. Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений (3.7) и (3.8) в плоской геометрии присутствием члена 2J (r)ir в уравнении (3.36). Причина такого отличия станет ясна при дальнейшем рассмотрении.
Иногда удобно записать уравнение (3.36) в виде
TT JT Ir1J (Г)) + о, W ф W = Qo (г). (3.38)
Если источник изотропен, так что Q1 (г) = О, то уравнение (3.37) можно использовать для исключения J (г) из уравнения (3.38). Обозначая 1/3 O1 = D, как в разд. 3.1.4, получаем следующий результат:
- k *г[гїоііг]+0о('') ^ (r)=Q»(r)- (3-39)
Это уравнение имеет дивергентный вид в том смысле, который был определен в разд. 1.3.2, так как после умножения на элемент объема 4лr2dr член, содержащий производную в уравнении (3.39), не содержит функций от г вне знака производной (этот факт будет использован ниже).
3.3.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Для сферической области граничные условия свободной поверхности можно обеспечить, как и в плоской геометрии, вводя (1/2)(Л/ + 1) условий для Рлгприближения. Недостающие условия должны быть определены в начале координат, т. е. в центре сферы. Требуется, чтобы поток нейтронов в начале координат был ограничен, следовательно, коэффициенты ф„ (0) должны быть ограниченными для п = 0, 1, 2, ..., N в Рлгприближении. Можно показать, что это требование обеспечивает дополнительные (N + 1)/2 условия [9].
Другая форма граничных условий в начале координат, которые используются для численных расчетов, состоит в требовании, чтобы поток ф был при г = = 0 четной функцией (X, Т. Є. фп (0) = О ДЛЯ нечетных л (это будет использо-
112
вано в гл. 5). В действительности поток нейтронов должен быть изотропен вначале координат для сферической геометрии, и это условие также можно ввести HO]. В /^-приближении ток нейтронов в начале координат должен быть равен нулю, т. е. / (0) = 0.
3.3.3. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СФЕРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Конечно-разностные уравнения можно вывести для сферической геометрии в основном теми же методами, что и для плоской. Рассмотрим, например, уравнение (3.39). Тот факт, что это уравнение имеет дивергентный вид, оказывается здесь более важным, чем в плоской геометрии, как отмечалось в конце разд. 3.2.4. Если уравнение (3.39) умножить на 4лг2 и проинтегрировать по г от rk-1/2 до rk+|/2, то в результате получим
rI:+I/2 rA:+1/2 гк + 1/2
—4я/-2?>^| -\-4л г2о0фйг=4п ^ r2Q0dr. (3.40)
г к — 1/2 тк— 1/2 гк— 1/2
Предполагая для простоты, что сечения имеют одну и ту же величину по обе стороны от точки rk, можно аппроксимировать уравнение (3.40) следующим выражением:
л__2 Г» ?/1 + 1 Фь і Г\ Ф k Фк-1 і
—4nrk+l/2L>-----------т 1/2 L> —----------h
Д*+1/2 Ак-1/2
H--- (?к+ I /2—г'к— 1/2) ?/1 = -(^+1/2 — 1 /2) Qoh» (3-41)
3 о
где А/,+1/2 = +i — гfe и т. д. В порядке расположения, слева направо, члены этого уравнения представляют собой: результирующий ток нейтронов через внешнюю поверхность области, результирующий ток нейтронов через внутреннюю поверхность, поглощение и источник нейтронов.
Конечно-разностные уравнения (3.41) вновь имеют вид уравнения (o.zv) и для их решения можно использовать те же методы, что и в случае уравнения
(3.20).
В сферической геометрии условия в начале координат должны быть введены вместо одного из граничных условий для плоской геометрии. Для сферической геометрии требуемые условия можно вывести из уравнения (3.40), интегрируя его по л от 0 до г1/2. Таким методом получается соотношение, содержащее только фо и фх. Его можно написать в виде уравнения (3.41), полагая фи-і — О И Гft_ і у2 = 0.
