Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Условия свободной поверхности. Пусть решение уравнений Рдг-прнбли-жения ищется для области 0 < х < а и на двух граничных поверхностях, для которых х = 0 и х = а, предполагаются граничные условия свободной поверхности. В разд. 2.5.4 было показано, что точные граничные условия не могут быть удовлетворены в Рл/-приближении, и существует некоторая свобода выбора приближенных граничных условий. Например, могут быть использованы граничные условия Маршака или Марка.
Для Рі-приближения можно использовать условия Маршака, состоящие в равенстве нулю тока падающих на границу нейтронов [см. уравнение (2.72) разд. 2.5.41:
і
JJ- [ф (0) -f 3\iJ (0)] d\i = 0;
о
о
j* [ Ф (а) + 3|хУ (a)] d|x = 0,
что приводит к условиям J (0) = —j ф (0) и J (a) = ф (а). В более общем
виде требование равенства нулю тока падающих нейтронов можно представить следующим образом:
n-J = ф /2, (3.10)
где п — нормальный единичный вектор, направленный наружу.
103
В диффузионном приближении закон Фика в плоской геометрии имеет следующий вид:
J = -D^ X.
dx
Тогда уравнение (3.10) перепишется в виде
ф + 2Dd-^- п• х = 0. т dx
Так как J = —DV ф , граничное условие Маршака в уравнении (ЗЛО) для диффузионного приближения представляют в виде
ф +2DV<?-п = 0. (3.11)
Граничные условия, подобные (3.10) и (3.11), часто используются для описания свободной поверхности в плоской геометрии. В диффузионном приближении поток нейтронов обычно полагается просто равным нулю на некоторой экстраполированной границе (см. разд. 2.5.4).
Граничные условия отражения и периодичности. Часто требуется рассчитать поток нейтронов для элементарной ячейки в периодической решетке. В качестве примера рассмотрим критическую систему, состоящую из регулярно расположенных топливных пластин, разделенных замедлителем. При этих
0
1------1-----------1—г
0' Ц
Рис. 3.1. Граничные условия в периодической решетке.
условиях расчет можно проводить для ячейки, содержащей половину тепловыделяющей пластины и половину слоя замедлителя, и затем принимать граничные условия периодичности (рис. 3.1).
Поток нейтронов является четной функцией }А при X = 0 И X = ха, так что коэффициенты разложения нечетного порядка должны обращаться в нуль на этих поверхностях. Например, в Р^приближении ток нейтронов J должен быть равен нулю при х = 0 и х = ха. Условия этого типа иногда называются граничными условиями отражения, так как их можно получить, если разместить отражающие поверхности на границах. Кроме того, элементарную ячейку можно выбрать в пределах отх = 0' до х — хъ (см. рис. 3.1). Тогда граничное условие требует, чтобы фп (0')= ф п (хь) для всех рассматриваемых значений п. Такие условия называются граничными условиями периодичности. Условия отражения или периодичности обеспечивают требуемые N + 1 условия для решения задачи в плоской геометрии.
104
Обобщенное граничное условие в диффузионном приближении. В диффузионном приближении различные ситуации могут быть описаны обобщенным граничным условием
ф + бп-V ф = 0, (3.12)
где Ь — неотрицательная функция на границе. Таким образом, если Ь = 2D, то (3.12) совпадает с условием свободной поверхности Маршака, описываемым уравнением (3.11). С другой стороны, если b очень велико, то (3.12) эквивалентно равенству нулю тока (или отражению) нейтронов на границе. Как отмечалось, функция Ь должна быть неотрицательной, иначе, так как ф положительно, поток нейтронов возрастал бы вблизи границы среды, что в действительности не имеет места.
Обобщеннее граничное условие, представленное уравнением (3.12), будет использоваться в данной и последующих главах.
Условия ка поверхности раздела. На поверхностях между различными областями в реакторах сечения претерпевают разрывы. Однако коэффициенты разложения являются непрерывными функциями при переходе из одной области в другую. В разд. 1.1.4 показано, чтоФ (г + sft, й, Е, t + s/v) — непрерывная функция s. В рассматриваемом случае стационарной односкоростной задачи в плоской геометрии это означает, что Ф (л; + sjx, |л) должна быть непрерывной функцией s. Отсюда следует, что, за исключением случая jli = О, Ф (х, ц) является непрерывной функцией х. (Специальный случаи |х = 0 рассматривается в разд. 3.5.1.) Так как для любого |х Ф 0 поток нейтронов Ф — непрерывная функция х, то и интегралы от Ф по |л, т. е. фп (х), также непрерывны. Следовательно, коэффициенты разложения являются непрерывными функциями х*.
Когда P1 или другие приближения низкого порядка используются для изучения сильных локализованных поглотителей нейтронов, то условия на поверхностях часто подгоняются таким образом, чтобы получить результаты, которые находятся в лучшем согласии с точными решениями [1].
3.2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
3.2.1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В P1-ПРИБЛИЖЕНИИ
Практический метод решения уравнений Рх-приблнжения (3.7) и (3.8) основан на использовании дискретной сетки пространственных точек, которые покрывают представляющую интерес область. Рассмотрим систему, содержащую конечное число пространственных областей. Предположим, что внутри каждой области сечения сг0 и Cr1 не зависят от пространственной переменной. Большую часть физических систем можно достаточно точно аппроксимировать такой системой дискретных областей, и обычно каждая физическая область с однородным химическим составом представляется одной из таких областей .
