Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белл Д. -> "Теория ядерных реакторов" -> 55

Теория ядерных реакторов - Белл Д.

Белл Д. Теория ядерных реакторов — Москва, 1974. — 494 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyayadernihreaktivov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 264 >> Следующая


ft-УФ (г, ft) Ч а (г) Ф (г, ft) = J а, (г, ft- ft') Ф (г, Q') dQ' +Q (г, й). (3.47)

Напомним, что при получении этого уравнения было сделано разумное пред положение о том, что функция рассеяния as зависит только от ft-ft'. Следовательно, as можно разложить в ряд по полиномам Лежандра Р/ ([.I0). Используя теорему сложения для сферических гармоник (см. Приложение), можно привести уравнение (3.47) к следующему виду:

OO

ft • УФ (г, ft) + а (г) Ф (г, ft) = J ^^±1 O81(T) X

X

I = о 4л

і

P1 (V)P1 (H') +2 2 7""!I¦ Р" M pT (I*'> cos т (ф- Ф'>

X ф(г, ft') dQ' + Q (г, й).

X

(3.48)

Как и прежде, (.i' и ф' определяют ft', в то время как (х и <р — ft (причем углы могут быть взяты в любой из систем, приведенных в разд. 1.7.2, где, однако, азимутальный угол обозначен % или со, а не ср).

Если в уравнение (3.48) вводится Рі-приближение для Ф (г, ft), т. е. уравнение (3.44), то все интегралы по ft' в правой части обращаются в нуль, за исключением тех, для которых 1 — 0 или 1 (см. Приложение). Для I = О выражение в квадратных скобках уравнения (3.48) приводится к единице, а интеграл по ft' дает as0 (г) ф (г). Для /= 1 выражение в квадратных скобках равно cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0' cos (ф — ф'), где 0 = arccos ft и 0' = arccos ц',

115
а интеграл по Й' равен За^й-J. Следовательно, уравнение (3.48) принимает вид

Й-Vf ф (г) + 30 J (г)] + а [ф (г) + ЗЙ-J (г)] = аз0 (г)ф (г) +

+ 3cts1 (г)Й - J (г) + 4лQ (г, Й). (3.49)

Интегрируя уравнение (3.49) и используя последнее тождество табл. 3.1,

в котором А эквивалентно V, а В — току J1 получаем

V-J (г) + о0 (г) ф (г) = Q0 (г), (3.60)

где а0 (г) = о (г) — CFso (г); Q0 (г) = JQ (г, fl)dfl.

Далее умножим уравнение (3.49) на й и проинтегрируем по й. В результате, используя тождества табл. 3.1, получаем

V ф (г) + Зст, (г) J (г) = 3Q, (г), (3.51)

где

Qi (г) Si а (г) — CT41 (г); Q1 (г) = J OQ (г, fi)dfl.

Уравнения (3.50) и (3.51) представляют собой Р^приближения уравнения переноса в произвольной геометрии. Необходимо отметить, что уравнение (3.50) является точным, так как оно строго эквивалентно закону сохранения нейтронов в стационарном случае (1.17). Уравнение же (3.51) есть /^-приближение; в точном уравнении сферических гармоник в левую часть уравнения (3.51) входили бы дополнительные члены, обусловленные наличием в уравнении переноса члена, описывающего утечку нейтронов.

Если источник изотропен, то Q1 (г) = 0, и тогда уравнение (3.51) можно записать в виде закона Фика, т. е.

J (г) = -DV ф (г),

где D = I/(Sct1). Как и в разд. 3.1.4, это уравнение можно использовать для исключения J (г) из уравнения (3.50), в результате чего приходим к известному диффузионному уравнению

—V-Dy ф (г) + Ct0 (г) ф (г) = Q0(r). (3.52)

Выше было показано, какого типа предположения используются при выводе закона Фика из односкоростного уравнения переноса. Значение этих предположений в многогрупповой теории обсуждается в следующей главе.

3.3.6. Р,-ПРИБЛИЖЕНИЕ В ОДНОМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ

Уравнения Рі-приближения для произвольной геометрии содержат точно такие же сечения, т. е. O0 (г) и Ct1 (г), как и уравнения в плоской геометрии. Помимо граничных условий, геометрия входит в эти уравнения только через явные выражения операторов градиента и дивергенции.

В сферических координатах радиальная компонента дивергенции равна

I d (гЧг)

г'2 dr

=іт+тУ

и имеет точно такой же вид, как и в уравнении Рі-приближения (3.36). Для бесконечно длинного цилиндра ток нейтронов также имеет только радиальную составляющую, так что

V-J = -L = + .LUr.

г dr V dr г J

116
Таким образом, в трех геометриях, а именно: в плоской, сферической и цилиндрической (бесконечный цилиндр), для которых пространственное распределение потока нейтронов зависит только от одной координаты, первое уравнение P1-приближения можно записать в общем виде

— j У (л)-f-а0 </> (л) = Q0 (Oi (3.53)

где п = 0 для плоскости; п = 1 для цилиндра; п = 2 для сферы.

Первый член можно представить также в виде

(г+т)'<г>=тг;г1г"'<г»-

Отметим, что в уравнении (3.51) ток нейтронов имеет компоненту только в одном направлении и что для сферической или цилиндрической геометрии V ф = = сіфІ<іг. Следовательно, уравнение (3.51) для этих геометрий в Рх-приближе-нии можно записать так:

i^ + 3a1M./(<-)=3Q1('')- (3.54)

dr

Аналогичное уравнение, в котором переменная г заменяется х, можно использовать и в плоской геометрии.

Диффузионное уравнение (3.52) для трех одномерных геометрий можно подобным же образом записать в виде

~^lt\r"D‘1Jir}+a°i-r) ф W = <3-55)

где значения п указаны выше.

Очевидно, что уравнения одного вида, а именно: уравнения (3.53) и (3.54) для Рі-приближення и уравнение (3.55) для диффузионного приближения, применимы к плоской, сферической и цилиндрической (бесконечно длинный цилиндр) геометриям. Аналогично, для этих трех одномерных геометрий можно получить конечно-разностные уравнения, которые решаются, если исключить небольшие различия в граничных условиях, методом, описанным в разд. 3.2.3. Задачи в двухмерной геометрии оказываются более сложными, и они будут рассмотрены для диффузионного приближения в следующем разделе.
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 264 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed