Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
3.4. ДИФФУЗИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
В ДВУХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
3.4.1. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ДВУХМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Конечно-разностные уравнения,аппроксимирующие уравнения диффузионного и Р^приближений, можно вывести для систем, требующих геометрического представления в двух (или трех) измерениях. Как и в разд. 3.2.3, систему конечно-разностных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, которое можно обращать для получения потока нейтронов в точках двухмерной пространственной сетки. Матрица, однако, оказывается гораздо сложнее, чем для одномерной геометрии, так что на практике обращать ее прямыми методами нецелесообразно. Вместо них нужно использовать итерационные методы. Кроме того, матрица в этом случае обычно имеет более высокий порядок, так как для аппроксимации двухмерной системы требуется значительно больше пространственных точек (обычно порядка IO3). Для трехмерной геометрии число счетных точек, конечно, еще больше.
Для простоты разностные уравнения рассмотрены для диффузионного приближения в прямоугольной геометрии. Если пространственными коорди-
!17
, хк} Ут -n
Ут + і
л х
VS/, /////¦¦ .. V/zZ/Xs/Z/s, ^¦777їїг/77л
i'm '//,
Ут
У'УЦхх/л
-^r ^yHrIriTnfaJ
/хк, Ут-і
натами являются х и у, то диффузионное уравнение для ф (х, у) принимает вид
-±ті±)—Ц0*±) +
дх \ дх J ду \ ду )
+ O0 ф =Q0. (3.56)
xu-і
Прямоугольная пространственная , сетка содержит точки с координа-
Т-4 Ут-1 тами Xh, где k — О, I, 2, ..., К, и
хи х*>< ут, гдет = О, J1 2, ..., М.
- ^ Обозначим ф (хк, ут) = фКт.
Как и раньше, удобно иметь про-Рис. 3.4. Узлы пространственной сетки в двух- странственные точки, размещенные
мерной геометрии. на поверхностях между областями.
Для простоты рассмотрим единственную область, в которой D, о0 и шаг счетной сетки постоянны. Часть пространственной сетки приводится на рис. 3.4.
Уравнение (3.56) можно проинтегрировать по небольшому (заштрихованному на рис. 3.4) прямоугольнику, который ограничен линиями х = хк ± ± (1/2)Дл: и у — ут ± (1/2)Дг/. В результате получим
ут+— ьу
хь + ~ ьх
JCb-I------Ax
Д у
-d і і
Ут~ — ЬУ
Xb-----------ДЛГ
dxid-±
Ui/
+
Xh-----------ДЛ-
Vm--M
Хь + —Ь-Х ^m+- ДУ
+ Q0 Jj dx ф dy=\ dx J dyQ0.
Xb--AX !Zrn--A у
(3.57)
Производные аппроксимируются следующим выражением:
дФ
дх
х .+ — Ах К 2
I
хъ---------Длг
Ф fe+1. т— Ф кл Ax
Фк, то—?/)-1,m Ax
__ Ф k+1, m—%Фк, т+ Фк-1, т
_ Ax
и аналогично для переменной у, а каждый интеграл аппроксимируется величиной подынтегрального выражения в средней точке, умноженной на интервал интегрирования. Уравнение (3.57) тогда принимает вид
Ax
— Р-^[фк,т+1 — 2фк>т+фк, m-ll + O0^X /±уфь>т = bx ^yQk, т (3.58)
или, если собрать члены с фк,
АУ Ax
^ к+1> т+фк-i, ml—[0fe, т+1+ Ф к, m-ll +
+ фк, то[а0Д*Ді/ + 2о|“Ь^;| =AxA у Qktm.
(3.59)
118
Хотя для интегралов в уравнении (3.57) можно написать более сложные и более точные приближения, однако для расчетов в диффузионном приближении обычно оказываются достаточными и те простые выражения, которые приведены выше [12]. В какой-то степени можно сделать выбор между мелкой сеткой с простыми коэффициентами в разностных уравнениях и крупной сеткой с более сложными коэффициентами.
3.4.2. ДВУХМЕРНЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Систему уравнений (3.59) можно записать в матричной форме. Для этого необходимо только ввести удобный порядок членов ф, так
чтобы прямоугольную систему {фи,т} можно было представить вектором ф. Очевидный выбор порядка членов состоит в том, что нумерация начинается с нижнего левого угла и производится по рядам. Все граничные точки исключаются с помощью граничных условий, например, свободной поверхности:
Фк,т = 0, если k •— О ИЛИ К',
ф kt т —- 0, если т = 0 или Al.
Для описания компонент вектора ф j используется единственный индекс
/= 1, 2, ...., (К — l)(Af — 1),
/ = к + (т — I )(К — 1).
При таком порядке определения компонент вектора ф систему разностных уравнений (3.59) можно записать в матричной форме [ср. уравнение (3.25)]:
Аф =s. (3.60)
Диагональные компоненты матрицы А, представленные выражением O0AxAy + + 2D[(Ax/Ay) -4- (Дг/ Ал)], положительны, в то время как недиагональные
члены, например —D (AyiAx), отрицательны или равны нулю. Сумма недиа-
гональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица А является днагонально преобладающей и удовлетворяет свойствам (1) и (3) разд. 3.2.3. Однако она уже не является трехднагональ-ной, так как в любом ряду имеются четыре отличных от нуля недиагональных элемента, за исключением рядов, соответствующих точкам, соседним с границами, которые имеют толькотри таких элемента. Матрица все еще является неприводимой, ио теперь Cijt j +1 = 0 для точек, соседних с правой и левой границами, т. е. когда точка / соседствует с правой границей, точка / -\- 1 соседствует елевой границей, поэтому отсутствует элемент, связывающий эти две точки. В любом случае матрица А вновь будет неприводимой днагонально преобладающей. Следовательно, существует обратная матрица [13], и уравнение (3.60)
