Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
можно решить относительно ф через s, записывая, как и раньше, ф = A-3S.
3.4.3. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
ИТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Так как в двухмерной геометрии прямые методы обращения матрицы весьма громоздки, для этой цели используют итерационные методы. Чтобы понять основные принципы, запишем матрицу А в виде суммы трех матриц:
-A=D-U-L, (3.61)
где D — диагональная матрица (отличные от нуля элементы находятся только на основной диагонали): U — верхняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся только выше основной диагонали) и L — нижняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной диагонали).
119
Поскольку матрица А является диагонально преобладающей, то элементы матрицы D, вообще говоря, имеют большую величину, чем элементы матриц UhL. Это дает возможность перенести меньшие по величине недиагональные члены в правую часть уравнения (3.60). Тогда получаем уравнение
dJ=[u+L]J + s, (3.62)
решение которого можно найти итерационным методом. С этой целью удобно, прежде всего, умножить обе части уравнения (3.62) на D-1 — матрицу, обратную D, такую, что произведение D-D-1. равно единичной матрице I. Так как D представляет собой диагональную матрицу, то каждый элемент матрицы D-1 равен обратной величине соответствующего элемента матрицы D, т. е. (D-1)^ = = l/(D)j;-. Следовательно, D-1 можно легко получить из D. При умножении уравнения (3.62) на D-1 находим, что
ф = D-1Ju +L]-? +D-1S. (3.63)
Теперь выбирается пробная функция ф<°>для ф в правой части этого уравнения, и уравнение (3.63) затем решается относительно ф в левой части уравнения; решение можно обозначить ф^К Итерационный процесс можно определить следующим образом:
ф и+1) = D-1 [U + L] ф^ + D-1 s, (3.64)
где ф(1) — вектор, который получен после і-й итерации. Покажем, что этот процесс сходится к точному решению. Пусть вектор ошибки е<г) представляет собой разность между и точным решением ф, т. е.
— ф (*') — ф .
Тогда е<п удовлетворяет однородному уравнению
е((+1)= D-1 [и + L] е<0.
Если вектор ошибки разложить в виде суммы собственных векторов матрицы D-1 (U + L), умноженных* на произвольные коэффициенты*, то каждая итерация умножает собственный вектор на его соответствующее собственное значение. Ниже показано, что все собственные значения матрицы D-1 (U + L) имеют абсолютные значения, меньшие единицы. Из этого следует, что е(г) 0, когда
і —оо.
Чтобы показать, что собственные значения матрицы С = D-1 [U + L] меньше единицы, необходимо отметить, что матрица С имеет положительные или равные нулю элементы и что сумма элементов в любом ряду меньше единицы, т. е. 2Cj;- < 1.
/'
Предположим, что X есть собственный вектор с наибольшим собственным значеннем X, тогда Cx = Xx.
Если компоненты вектора х обозначены Xj, причем Xi — наибольшая из них, то
^ CijXj = Xxi /
или
^=2 (xj/xi)'
і
* Такое разложение всегда возможно, так как собственные векторы действительной симметричной матрицы образуют приемлемый базис для такого разложения, a D-1 (U + + Lj и представляет собой действительную симметричную матрицу [14].
120
Беря абсолютные значения и замечая, что |Сг-;-| = Сц, получаем
IM < 7 Си (І хіІхі I ),*
/
но так как (|лг7-/хг-1) ^ 1, из-за выбора і, то
IMCSCuO-
/'
Таким образом, показано, что наибольшее собственное значение меньше единицы. Следовательно, все собственные значения матрицы D-1 [U + L] должны быть меньше единицы. Собственное значение, имеющее наибольшую абсолютную величину, называется спектральным радиусом матрицы. Следовательно, полученный выше результат состоит в том, что спектральный радиус матрицы D-1 [U + LI меньше единицы.
Описанный выше итерационный метод известен как точечный метод Якоби или как метод Ричардсона [15]. Хотя он и является вполне работоспособным, однако не обладает такой быстрой сходимостью, как некоторые другие итерационные методы. В основном причина такой медленной сходимости состоит в том, что спектральный радиус матрицы D-1 [U + L] обычно очень близок к единице, и поэтому ошибка исчезает очень медленно.
3.4.4. УЛУЧШЕННЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Существуют более мощные, чем рассмотренные выше, итерационные методы [16], но их подробное изучение выходит за рамки настоящей книги. Однако можно сделать основные замечания о некоторых итерационных методах. Предположим, что уравнение (3.64) используется для получения вектора потокаф(г’+ п. При расчете любой компонентыф(і+ например ф{)+1\ в правой части уравнения будут использоваться только значения потока из последней итерации, т. е. ф(1). Может оказаться, что после того, как рассчитана новая компонента ф\1 +1), более предпочтительно использовать именно ее, а не
для определения последующих компонент 0(Н-П, т. е. компонент ф{1+1) ck> /. Таким образом, новая компонента потока могла бы воздействовать на расчет потока, прежде чем итерационный процесс закончится.
Итерационная схема
[D -L]^<н-п = U?(*) + s (3.65)
представляет именно такой метод, известный как метод Либмана или Гаусса— Зейделя. Так как матрица [D — LI треугольная, включая основную диагональ, то можно легко найти обратную ей или решить уравнение (3.65) относительно