Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
?(4-0. Таким образом, рассмотрим уравнение(3.65) как систему уравнений для
компонент ф(‘+і>. Первое уравнение содержит только одну компоненту, т. е. ф и его можно решить непосредственно; второе содержит две компоненты, т. е. ф <*+¦> и 1 >, одна из которых известна, а вторая может быть определена из решения уравнения и т. д. Таким способом можно вычислить все компоненты ф)1+1) последовательно для / = 1, 2, ... Следовательно, при определении
ф(і+х) каждая из компонент ф<‘+>> используется по мере того, как она вычисляется.
Дальнейшее обобщение описанного метода предполагается провести на основании следующего рассмотрения. Есл\\ф]1+І) значительно отличается от ф\1\ то разумно предположить, что лучшую оценку можно было бы получить, экстраполируя дальше значение ф\1+ определяемое уравнением (3.65). Для этого уравнение (3.65) представим в виде
"^+D = D-1 [u^+L^H-n + s], (3.66)
121
где вектор потока обозначен индексом L1 указывающим на то, что рассматривается итерационный метод Либмана. Чтобы получить экстраполированную
оценку потокауже не совпадающего сф\!+1), к правой части уравнения
(3.66) можно добавить величину (со— 1)(</>(г+|)—ф{і)), где со — постоянное
число, большее единицы. Если в этом добавленном члене ф^+1'» заменить
D-1 [U9MO -j- 'і.фіі+і) -j- s], то получается итерационная схема
~фа + D =CoD-1 [U^W + L ' +1 > + s] + (1 — со) (3.67)
Если теперь уравнение (3.67) умножить на D и провести некоторую перестановку членов, то получим
(D-O)L) ф^+') = [(l-co)D + coU] 0<*'>+<os. (3.68)
Этот метод известен как метод ускорения сходимости Либмана или как метод точечной последовательной верхней релаксации. Величина со представляет собой параметр ускорения сходимости и при соответствующем выборе дает очень эффективную итерационную схему. Легко проверить, что для любого со это уравнение удовлетворяется значением ф (г> = ф(i + 1 > = ф , т. е. точным решением. Оптимальную величину со можно оценить, если вспомнить (см. разд. 3.4.3),
что скорость убывания ошибки в начальном значении ф, т. е. ф{0), зависит от спектрального радиуса матрицы. Таким образом, этот спектральный радиус определяет скорость сходимости итерационного процесса. Если в данном случае і-ю итерацию потока записать в виде
ф (1) = ф -J- g (г) t
где ф —точное решение, a s{i) — вектор ошибки, то из уравнения (3.68) находим, что е(г+|) удовлетворяет следующему уравнению:
e<f+n= [d—coL]-1 [(1 — co)D + coU] *(*') = С*(W)*(*'), (3.69)
которое определяет матрицу С* (со). Из рассуждений, проведенных в разд. 3.4.3, следует, что оптимальным значением со будет такое, которое приводит к наименьшей (абсолютной) величине спектрального радиуса матрицы С* (со). Таким образом, для нахождения оптимального параметра ускорения сходимости можно пользоваться методами определения собственных значений матриц [17].
Используя описанные выше или даже лучшие [18] итерационные методы, легко получить с помощью быстродействующей вычислительной машины удовлетворительное решение для вектора»/), даже если пространственная сетка содержит тысячи счетных точек. В следующей главе отмечено, что в многогрупповой теории итерации для определения пространственного распределения потока нейтронов (внутри данной энергетической группы) называются «внутренними» итерациями в отличие от «внешних», используемых в расчетах критичности см. разд.4.4.4).
3.4.5. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЕЕ ОБЩИХ СЛУЧАЕВ
Результаты, приведенные в предыдущих разделах, относились главным образом к конечно-разностным уравнениям, выведенным для прямоугольной геометрии. Аналогичные уравнения можно также получить для других двухмерных геометрий [19], хотя геометрическая зависимость коэффициентов становится более сложной. Во всех случаях можно использовать одни и те же методы решения разностных уравнений.
Для трехмерной геометрии разностные уравнения в данной точке содержали бы связь с шестью другими точками, а не с четырьмя, как в уравнении (3.59). Тем не менее для решения этих уравнений можно применять те же методы, что
122
и в двухмерных геометриях. Однако в трехмерной геометрии число счетных точек, необходимых для представления реактора, часто настолько велико, что расчеты становятся чрезмерно громоздкими и не реализуемыми на практике. В гл.6 и 10 рассмотрены некоторые другие методы решения трехмерных задач.
Хотя разностные уравнения были выведены здесь для диффузионного приближения, аналогичные уравнения можно легко получить и для P1-приближения. Когда'диффузионное или Р^приближение оказывается недостаточным для представления угловой зависимости потока нейтронов, то можно использовать более общие разложения в методе сферических гармоник. Их применение к плоской и сферической геометриям уже было рассмотрено, а для цилиндрической геометрии описано в разд. 3.6.2. Для более сложных геометрий методы сферических гармоник оказываются настолько сложными, что обычно используются другие, особенно метод днскретных ординат (CM. гл. 5) и метод Монте- Карло.