Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Установлено, что уравнение (7.66) дает достаточно точные значения для сечения неупругого рассеяния, даже когда условия, которые предполагались при его выводе, не удовлетворяются. Так, оно было применено для твердых тел, в которых кристаллы не имеют кубической симметрии, межатомные силы не являются гармоническими и в элементарной ячейке содержится более чем один атом. При расчетах для таких материалов функция f (со) обычно выбирается на основании некоторой модели кристалла, в рамках которой можно оценить фононный спектр. В качестве примера в разд. 7.4.8 обсуждается рассеяние нейтронов в графите. Можно так же, как показано в разд. 7.4.7, получить приближенные значения функции f (со) из измеренных сечений рассеяния.
Обычно значения дважды дифференциального сечения, рассчитанного из уравнения (7.66), хорошо согласуются с экспериментальными данными. Они могут отличаться в некоторых деталях, но общий ход вычисленного сечения оказывается вполне разумным. Кроме того, для реакторных расчетов основное значение имеет влияние сечения рассеяния на спектр нейтронов. Ошибки в сечениях можно не учитывать, если они не оказывают заметного влияния на спектр нейтронов. Важно отметить, что если модель для расчета функции рассеяния osfs не полностью соответствует физике рассеивающей среды, то необходимо проводить эксперименты для подтверждения рассчитанного спектра.
Постоянно проводятся исследования [42], цель которых — уточненне или исключение тех приближений, которые были допущены при выводе уравнения (7.66). Тем не менее оказывается, что сечения неупругого рассеяния, полученные из этого уравнения, пригодны для использования в различных задачах переноса нейтронов.
Так как в уравнении (7.66) используется некогерентное приближение, в котором эффектами интерференции пренебрегается, то очевидно, что его нельзя применять к расчету упругого рассеяния, для которого эффекты интерференции очень важны. Для систем, в которых перенос тепловых нейтронов существен, необходимо принимать во внимание когерентное упругое рассеяние. Это требует вычисления промежуточной функции рассеяния, определенной уравнением (7.50), которое проводится с помощью теории твердого тела. Однако подробный анализ этой проблемы выходит за рамки данной книги [43].
7.4.5. ЖИДКОСТИ: МОДЕЛЬ ДИФФУНДИРУЮЩЕГО АТОМА
Для изучения рассеяния нейтронов одноатомными жидкостями предложена простая и многообещающая классическая модель [44]. В этой модели атом рассматривается диффундирующим в жидкости, и корреляционную функцию Gs (г, t) можно тогда найти, используя ее классическое определение, как вероятности того, что атом, находящийся в момент времени ^=O
в начале координат, окажется в момент времени t в положении г. Если вероятность пространственного расположения атома описывается уравнением диффузии
dGjdt = DvV2Gs (7.67)
с коэффициентом диффузии D, то при выполнении условия Gs (г, 0) = б (г) решение этого уравнения имеет вид
Gs(г, f) = exP<-rWto'> . (7.68)
(4nDvt)z/2
Отметим, что уравнение (7.68) аналогично выражению, выведенному из возрастной теории Ферми для замедления нейтронов от точечного источника
276
[45]. В более общем случае этот результат аналогичен решению задачи теплопроводности [46].
Используя уравнение (7.68), можно получить промежуточную функцию некогерентного рассеяния из уравнения (7.46). С помощью преобразования Фурье [47] приходим к следующему результату:
Хнеког(*> 0 = ехр (—*2Dvt). (7.69)
В более точных теориях рассеяния нейтронов жидкостями коэффициент перед к2, т. е. Dvt, заменяется более общими функциями времени [48J.
7.4.6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГАУССА
Во всех рассмотренных выше моделях рассеяния промежуточная функция рассеяния в некогерентном приближении может быть записана в внде
Х„еког(х. t) = exp{(JiK2/2Am)[y(t)—Y (0)]}. (7.70)
Для простого кристалла с кубической структурой это выражение использовалось в уравненин (7.63). Оно применимо также к модели кристаллического тела Эйнштейна и к свободному одноатомному газу, который, как было показано, можно рассматривать как частный случай кристалла с кубической структурой (см. разд. 7.4.3, 7.4.4). Кроме того, классическая модель атома, диффундирующего в жидкости, т. е. уравнение (7.69), имеет такой же вид промежуточной функции рассеяния, в которой
,,. 2DvAm
VW =--------—t-
В соответствии с уравнением (7.65) функция у (t) —у (0) отрицательна при t > 0 для модели кристалла с кубической структурой, так же как и для модели диффундирующего атома. Из этого следует, что уравнение (7.70) представляет собой функцию Гаусса от х для любого момента времени t > 0. Следовательно, что касается зависимости функции х„еког от передачи импульса х, то уравнение (7.70) является уравнением Гаусса для всех рассмотренных случаев.
Поскольку уравнение (7.70) имеет в значительной степени общий характер, оно широко попользовалось для определения функций рассеяния в системах, таких, как жидкости, для которых не представляется возможным провести точные теоретические исследования. В этих случаях оно известно как приближение Гаусса. Прі/испсшьзовании этого приближения величина у (t) должна быть известна, и часто ее выводят из уравнения (7.65), в котором функция / (со) оценивается из физических рассмотрений. В разд. 7.4.8 описывается применение этого метода для изучения рассеяния нейтронов в воде.
