Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
і
Os (E') fs (E' -*¦ Е) = 2я \ Os (?')/(?'->?; ^0) ф0.
— і
Функцию передачи энергии можно найти, интегрируя уравнение (7.26) по углам рассеяния [Xq, однако больший интерес представляет другой, приближенный способ ее получения.
Рассмотрим вновь столкновение между нейтронами, имеющими скорость г/, и атомами газа, имеющими скорость V, направленную под углом arccos (J. к V . Интенсивность столкновений в этом случае дается уравнением (7.21). Требуется прежде всего определить вероятность g (V' -> V) того, что нейтрон в результате столкновений будет иметь конечную скорость в интервале между и и и +dv независимо от угла рассеяния ц0- С этой целью удобно перейти в систему координат центра инерции. Скорость Vc центра инерции в лабораторной системе определяется выражением
Vc = (V' + AV)I(A -I- 1),
где v' и V — соответствующие скорости в лабораторной системе координат.
Рассеяние в системе центра инерции изотропно, и начальная и конечная скорости нейтрона в этой системе равны
А
Vc = Vc =----vr-
с А + \
Пусть 0 — угол между вектором скорости центра инерции Vc и вектором конечной скорости нейтрона в системе центра инерции (рис. 7.4). Тогда абсолютная величина конечной скорости нейтрона в лабораторной системе равна
Г
V =
[/ 1/?+(l^TI’')2 + 2V’«(l7Tt’')cose • <7-27>
263
Для столкновения нейтрона с атомом, имеющим определенные значения V и [д., величины Vc и vr фиксированы. Кроме того, так как рассеяние изотропно в системе центра инерции, то вероятность того, что в результате рассеяния нейтрон будет иметь направление 0, пропорционально dcos0. Ho из уравнения
(7.27) следует
V dv = Vc ( —— vr I d cos 0.
cU + l )
Значит, вероятность того, что скорость v лежит в интервале dv, пропорциональна vdv и g (v' -> v) ~ v. Скорость v может меняться от минимального значения 0МИи nP и cos ® = —1 ДО максимального омакс при cos 0 = 1. Тогда из уравнения
(7.27)
имин
Vc- - „г с Л+ 1
Vr
A + 1
Из этого следует, что
g(v'-+v) =
о
2v
2 2 V макс — имин
ДЛЯ V Умшр
ДЛЯ Umhh 5? и SC имакс,
(7.28)
О
Для
макс
Умножая интенсивность столкновений [см. уравнение (7.21)] атома, имеющего скорость V, с нейтроном, имеющим скорость Vі, на вероятность
Рис. 7.4. Рассеяние нейтронов в лабораторной системе (а) и системе центра инерции (б).
g (v'—v) того, что нейтрон будет иметь конечную скорость V, деля полученный результат на v и интегрируя по всем скоростям атома, находим, что
OO 1
= ^vTg{v' ~+v)2nP{V)d\idV. (7.29)
О —1
Полученное соотношение представляет собой вероятность (на единицу длины пути нейтрона) того, что нейтрон в результате рассеяния изменит свою скорость с v' на V. Так как
as(E')E)dE = os(v')fs(v'-+v)dv и = mv,
dv
264
то
aS (?') ft (?' Е)=-------CTs (o') fs(v' —>¦ v).
mv
Если этот результат подставить в уравнение (7.29) и вычислить интегралы, как при выводе уравнения (7.24), то получим
(EU(E--E)- "^{ехр [erf („ j/g-p/J) ±
уЪ** |/ г)] ¦+erf (11 V*~* i/I)т Terf(V^+pi/?)}' <7-зо>
гдег) == (Л + 1)/(21/Л) ир = (Л — 1)/(2)//4). Если E'с Е, то в уравнении (7.30) должны использоваться верхние знаки, и если E1 > E — то нижние. Зависимость функции ne-
tt
Uj
Л
0,5
\
(/\
/ / E'=25k T
У \2SkT
0,5
¦1.0
Е/Е‘
Рис. 7.5. Функция передачи энергии в одноатомном газе с A = I [14].
редачи энергии от температуры газа приведена на рис. 7.5 и 7.6 [14] для различных отношений Е/Е'. На рис. 7.5 эта зависимость представлена для газа из свободных протонов (А = 1), а иа рнс. 7.6 — для газа из атомов кислорода (А = 16).
Из рисунков видно, что при высоких энергиях нейтронов, т. е. E' > кТ, рассеяние очень напоминает рассеяние на покоящихся ядрах (или атомах). При этих обстоятельствах рассеяние, приводящее к уменьшению энергии нейтрона, т. е. случай Е/Е' <1, оказывается более существенным, чем рассеяние, приводящее к возрастанию энергии.
Однако при энергиях, приближающихся к кТ, рассеяние, приводящее к возрастанию энергии, становится более существенным, и нейтрон с большей вероятностью может приобрести энергию при столкновении с атомом газа.
Эффект рассеяния, приводящего к возрастанию энергии, очевидно, более важен для легких ядер (протонов), чем для более тяжелых.
Можно отметить, что для протонного газа г) = 1 и р = 0. Тогда уравнение (7.30) принимает особенно простой вид:
Е'~Е - ' /rEr с, _ г-
у для ЖЕ;
Uj
Uj
J
Ч-?
Io
Рис. 7.6.
Функция передачи энергии в одноатомном газе с Л = 16 [14].
оЛ(Е’)ЫЕ^Е) =
ехр
E'
кТ
erf
aserti/-?
E' у кТ
для Е’>Е.
(7.31)
(7.32)
265
Приведенные выше выражения для crs/s можно использовать при изучении модели одноатомного газа в общих задачах переноса нейтронов. Такие расчеты часто применяют, как отмечалось ранее, для сравнения с более сложными моделями рассеяния. Установлено, что эти модели эквивалентны модели одноатомного газа при высоких температурах [15]. Кроме того, рассмотренная газовая модель часто используется при изучении рассеяния на атомах с массой, не равной истинной, а несколько превышающей ее и выбираемой (полуэмпирнчески) таким образом, чтобы моделировать эффекты химических связей в реальной системе [16].
