Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
7.3.4. ОБЩИЙ ЗАКОН РАССЕЯНИЯ
Квантовомеханическая теория рассеяния нейтронов на системе связанных ядер, предложенная впервые Э. Ферми [17] и использующая приближение Борна и так называемый «псевдопотенциал» Ферми, была усовершенствована другими авторами [18]. Были получены различные теоретические формулы [19], наиболее полезные из которых обсуждаются ниже.
Предположим, что нейтроны претерпевают рассеяние в среде, содержащей связанные атомы одного элемента. Рассеяние может зависеть от ядерного спина и от наличия различных изотопов, как в разд. 7.1.4, различием масс которых пренебрегается. Было показано [20], что функцию рассеяния можно записать в этом случае в виде суммы дважды дифференциальных макроскопических сечений когерентного и некогерентного рассеяний, т. е.
<т,(?')/.(0'. Е) = а„„г(8', ?'-*fi, ?) + аие„ог (»', ?' —Q, ?), (7.33)
где члены в правой части уравнения определяются в виде
__ OO
аксг(Й', Е> ~^Q’E) = ^y^§7^ J jexp[i(x-r — et/%)]G(r, t)dxdt\ (7.34)
— ОО __ OO
CfHeKor (O'. ?'-a, ?) = ^fl/ f j j exP [і (ХТ-Є/Д)] 0,(r, t) drdt, (7.35)
— 00
a интегрирование проводится по всему пространству*.
В этих уравнениях сгког и аиеког представляют собой сечения когерентного и некогерентного рассеяний, которые были определены в разд. 7.і.4, за исключением того, что теперь (и в последующем) они являются макроскопическими сечениями; % — приведенная постоянная Планка. Как и ранее, г = E'—E есть изменение энергии нейтрона или передача энергии рассеивающему ядру (или от него). Величина обозначает теперь вектор изменения импульса нейтрона, определяемый в виде
m(v' — v).
Функции G и Gs, которые не следует путать с функциями Грина, рассмотрены ниже.
Прежде чем перейти к последующему рассмотрению, обратим внимание на некоторые свойства уравнений (7.34) и (7.35). Во-первых, видно, что ядерные аспекты рассеяния целиком содержатся в величинах сгког и сг„еК0Г. Иначе говоря, этих сечений достаточно для того, чтобы охарактеризовать ядерное взаимодействие между нейтроном и ядром (или атомом). Динамика рассеивающей системы и, в частности, взаимодействия между рассеивающими атомами содержатся в функциях G. Это разделение функции рассеяния на два множителя, один их которых содержит информацию о взаимодействии нейтрона с ядром,
* Символ dr используется в случае, когда интегрирование проводится по всему пространству, в отличие от символа dV, применяемого при интегрировании по конечному объему.
266
а другой — о связях рассеивающих атомов, является следствием использования приближения Борна и псевдопотенциала Ферми [21]. Кроме того, необходимо отметить, что интегралы в уравнениях (7.34) и (7.35) содержат только изменения импульса и энергии нейтрона.
Функции G и Gs известны как корреляционные функции [22] и в отсутствие квантовых эффектов могут быть интерпретированы следующим образом. Если рассеивающий атом в момент времени і = 0 находится в начале координат, то G (г, t) определяется как вероятность того, что второй атом будет находиться в момент времени t внутри единичного объема вблизи г. Функцию G (г, t) можно записать как сумму двух частей: Gs (г, t), где индекс s означает, что второй атом является тем же самым, что и первый, и Gd (г, t), где индекс d означает, что рассматриваются другие, отличные от первого атомы. Следовательно,
G (г, t) = Gs (г, t) + Gd (г, t),
где Gs — вероятность того, что атом, находящийся в момент времени t = 0 в начале координат, будет расположен в момент времени t в положении г, в то время как Gd — вероятность того, что другой атом будет находиться в момент времени t также в положении г. Эта интерпретация функций G оказывается полезной в предлагаемых приближениях,как показано при последующем рассмотрении.
Законы рассеяния, выраженные уравнением (7.34) и (7.35), часто записываются в несколько отличном виде. Используя определение
OO
S(x, е) = ~ j* JexP П (х-г — Bt/h)] G (г, i)drdt, (7.36)
—-OO
можно записать уравнение (7.34) в виде
Ollor(O', E'-* О, E) = HjjjjS ,/IS (*, е), (7.37)
и если функция Ss (х, є), которая иногда обозначается SHeKOr (х, є), определяется аналогичным образом через Gs (г, t), то получается выражение, аналогичное уравнению (7.37), для сгиеког (й', E' й, Е), а именно
<Wr (O'. E' - а, Щ “ 5Jf1 і/§7 S, (к, Є). (7.38)
Принцип детального равновесия, выражаемый уравнением (7.11), можноза-писать через функции S (х, є). Это условие будет связывать столкновение, приводящее к изменению импульса и энергии, Йх и є, с таким, при котором эти изменения будут составлять соответственно — &хи—є. Если уравнения (7.33). (7.37) и (7.38) подставить в уравнение (7.11), то результат будет иметь вид
М(Е> KorS ( — X, — e) + aHeKOrSs( — х, —є)] =
= M (E', T) J7 [<wS (х, є) + сгнеког Ss (х, є]).
Это уравнение должно удовлетворяться отдельно для когерентного и некогерентного рассеяний. Проводя такое разделение и используя уравнение (7.7) для распределения Максвелла M (E, Т), получаем
S (х, e) = S( — х, — є) ехр (г/кТ); (7.39)
