Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если макроскопическое сечение рассеяния связанного атома Ob представить в виде Ob = оког + OrHeK0r. то в некогерентном приближении, т. е. при использовании уравнений (7.47) и (7.49), уравнение (7.55) изотропного гармонического осциллятора при нулевой температуре дает функцию рассеяния в следующем виде:
Хнеког (х> 0 ехр
[(п+ 1} [ехр (Ц) О -1] + л [ехр (-І0» t)- 1]]} , (7.54)
Хнеког 0 ехр
(7.55)
o,(E')fs(Q', E1-*Q, E) =
— OO
— OO
Раскладывая экспоненту в ряд
271
и используя определение функции Дирака (см. Приложение)
OO
— Г ехр (i^x) dt = б (х), (7-57)
2л J
— OO
находим, что
Oa(E1)W, Et-^Q, E) =
\ 1 /
=^i/1
4я у E'
2Лш(о
Этот результат впервые был получен Ферми [32].
Необходимо отметить, что п-й член в разложении функции рассеяния содержит дельта-функцию б (е — п%со0) и, таким образом, соответствует передаче п колебательных квантов осциллирующему атому с потерей энергии нейтроном, равной п%щ. Разложение, описываемое уравнением (7.58), известно поэтому как фононное разложение, так как n-й член описывает образование п фононов в кристалле (см. разд. 7.1.3).
Сечение передачи энергии можно найти, интегрируя уравнение (7.58) по всем углам рассеяния |х0. Полное сечение рассеяния получается интегрированием по всем конечным энергиям Е. Если полное сечение рассеяния обозначить
Os (?'), т. е. Os (?') = 2 оп (E'), то из уравнения (7.58)
га = О E' __
оп (?') = — Г л/~ — Г ехр (------——) — I \ б (е — n%(x>0)dSidE. (7.59)
' 4я J I/ ?' J 2Ат®0) п\ \2Аггц>>0! V V ;
о г
В этом уравнении е и х2 являются функциями ?, ?' и утла рассеяния |л0, имеющими такой же вид, как и в разд. 7.3.2, т. е. е = ?' — ? и &2х3 =
= 2т (?' + ? — 2\i0YЕЕ'). Дифференциал dQ в уравнении (7.59) заменяется 2ndp0 и вводится новая переменная
"fbyp і і і ЛЙ'СОл
х• так что d^ol = —T=\dx I.
2 Апкио 2 У ЕЕ'
При интегрировании уравнения (7.59) сначала по энергии б-функция накладывает условие E = E' — п%со0, а введение переменной х приводит к следующему результату:
Іаь_ЛЙ<оо_і_ С хнехр(—х) dx, если ?7(^to0)^n; оп (?') =? 4 E' пі J ' п о) ^ , (7 60)
О, если ?7(зЦ)<п,
где пределы интегрирования определяются в виде
{YE' ± VE'-п%CO0)2
х± =
Л&соо
В частности, сечение в отсутствие фононного возбуждения, т. е. при п = = 0, дается выражением
0»(?',=т^[,-^(-ж:)]- <7-61>
При низких энергиях нейтронов энергия оказывается недостаточной для возбуждения фононов, и полное сечение рассеяния имеет ВИД’
Os(Ef) = о0(Е') для малых E'.
272
Из уравнения (7.61) следует, таким образом, что
os(E')-+ob, когда Е'->0,
(7.62)
как и ожидалось. Однако при более высоких энергиях, как видно из уравнения (7.61), сечение O0 (E') убывает по закону 1/Е'.
Представленное уравнениями (7.56)—(7.62) фононное разложение справедливо для осциллятора с температурой, равной нулю. Подобное фононное разложение можно провести и для конечных температур, но результаты оказываются более сложными [33]. Для осцилляторов с конечной температурой рассеянный нейтрон может как приобретать энергию за счет поглощения фононов из твердого тела, так и терять ее в результате образования фононов, т. е. поглощения энергии твердым телом.
Интересно рассмотреть полученное в этом приближении сечение рассеяния нейтронов связанными протонами, т. е. атомами водорода, для которых A = 1.
На рис. 7.7 [34] приведена зависимость рассчитанного отношения os (E')/os0, где crs0, определенное в разд. 7.3.1, представляет собой сечение рассеяния свободных газообразных атомов водорода, от отношения энергий нейтрона и фонона (колебательного кванта), т. е. E'/%со0. Значение crs0 для водорода принимается равным оъ!А в соответствии с результатами разд. 7.1.3.
Таким образом, из уравнения (7.62) для E1 = 0 следует, что crs (E1)Zos0 = 4. При возрастании E' отношение сечений рассеяния спадает приблизительно по закону HE' при условии, что E' < ^co0 и что возбуждение фононов отсутствует. Когда E'IhCO0 = 1, то один фонон может возбудиться, и происходит резкое возрастание сечения рассеяния из-за вклада члена O1 (E'). Такие последовательные скачки происходят при E1Itco0 = 2, когда могут возбудиться два фонона и внести свой вклад в полное рассеяние, E1Hna0 = 3 и т. д.
Из рис. 7.7 видно, что при более высоких энергиях нейтрона сечение рассеяния приближается к своему значению для одноатомного газа, т.е. as(E')/os0 = 1. Можно показать [35], что при таких энергиях нейтрона передача энергии при рассеянии на одноатомном водородном газе, т. е. на свободных протонах, имеет примерно такое же значение, как и при рассеянии на осцилляторе из связанных протонов с такой же средней кинетической энергией. Таким образом, при высоких энергиях нейтрона, т. е. E > 10 &со0, рассеяние не зависит от химических связей рассеивающих атомов. С другой стороны, ясно, что в фононной модели передача энергии от нейтрона к связанному атому будет полностью отсутствовать, когда E' < &со0, и будет очень мала для E' « й со0.
Приведенная выше теория рассеяния нейтронов протонами, связанными изотропным гармоническим потенциалом, представляет интерес по нескольким причинам. Во-первых, эта модель описывает эффекты химических связей рассеивающих атомов особенно простым и ясным способом. Во-вторых, она служит введением к методам исследования баї ее реальных рассеивающих веществ. Кроме того, она оказывается хорошим первым приближением для изучения некоторых реальных замедлителей, в частности гидрида циркония [36].
