Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Й • Vip+ (сг0 +Os)г|) — Jjjjcrs'/(г; А', ?'->Й, ?) X
(7.15)
— Q.Vxj+ + (aa + as)t|+— JJ osf(г; Й, ?->Й\ ?') X
(7.16)
Й-Vyii+(г, —О» Е) + К + °s) - JJ °sf (г; — Й,?->— А', ?') X
Q = Q+ = 6 (г — п)б (Й — flj)6 (? — E1),
так что Ф (г, й, ?) и Ф+ (г, й, ?) являются функциями Грина, т. е.
Ф = G (гь Al, E1 -> г, й, ?);
Ф + = G+ (rlf A1, E1-^rt Й, ?),
а эквивалентные функции, соответствующие г|) и г|)+, есть
г}> = ip (rlt Й,, E1-+- г, Й, ?): ?+ = ij,+ tn, A1, E1 -*¦ г, А, ?).
M (E1, Т) G (n, A1, E1 -*¦ г, А, ?) =
= M (EtT)G+(г1г -A1, E1-^rt -А, ?),
(7.19)
259
который представляет собой искомое соотношение взаимности между функциями Грина для потока нейтронов и сопряженной ему функции в задачах термализации.
Если общее соотношение [см. уравнение (6.13)] между функциями Грина использовать вместе с уравнением (7.19), то
M (Eu T)G(гі, Qi, E1-^r, Q, E) =
= M (Е, T)G{г, -Q, E-^ru -Q1, E1). (7.20)
Это уравнение аналогично уравнению (7.12), справедливому в односкоростном приближении, за исключением того, что обе части умножены на соответствующие максвелловские распределения. Таким образом, как и в односкоростной теории (см. разд. 2.7.2), решения различных простых задач термализации можно связать друг с другом.
В основе соотношения взаимности [см. уравнение (7.20)] лежит тот факт, что, используя условие детального равновесия, оператор переноса тепловых нейтронов можно сделать почти самосопряженным с помощью элементарного преобразования. С теоретической точки зрения важно, что оператор переноса можно, таким образом, сделать почти самосопряженным, так как понятно, что самосопряженные операторы лучше, чем несамосопряженные. Следовательно, для задач термализации можно сделать заключения относительно существования собственных значений и других свойств решений, которые невозможны для более общих задач с энергетической зависимостью [11].
Приведенные выше результаты указывают на сходство задач термалпза-ции в средах с постоянной температурой и односкоростных задач. Если, однако, температура зависит от координаты, то соотношения взаимности не выполняются. Причина этого формально состоит втом, что при переходе к уравнениям, содержащим функцию -ф, когда температура T является функцией г, множитель M (E, T (г)) не коммутирует с оператором градиента, т. е.
M (E, Г(г)) V^VM(?, Т( г)), и вывод соотношения между г|) и Ip+ нарушается.
7.3. ЗАКОНЫ РАССЕЯНИЯ НЕЙТРОНОВ
7.3.1. РАССЕЯНИЕ НА ОДНОАТОМНОМ ГАЗЕ
В этом разделе рассмотрены некоторые законы рассеяния нейтронов, т. е. свойства величин Os и fs, которые используются в уравнении переноса при изучении задач термализации. Обсуждение начато с простейших моделей рассеяния, в которых рассеивателем является одноатомный газ. Затем рассмотрение распространено на более реальные замедляющие системы, включая молекулы и кристаллы. Как и всюду в книге, символ о используется для обозначения макроскопических сечений.
Задача термализации нейтронов в одноатомном газе достаточно проста для того, чтобы вывести законы рассеяния в явном виде [12]. Хотя среди наиболее важных замедлителей нет одноатомных газов, тем не менее целесообразно определить законы рассеяния для этого простого случая, поскольку а) они устанавливают общие качественные свойства термализации, которые применимы во многих случаях; б) они служат полезным стандартом для сравнения с более реальными, но более сложными законами рассеяния в других средах. Кроме того, все эти законы основаны на приближенных моделях, поэтому целесообразно начинать с простой (точной) модели одноатомного газа, так как она, по крайней мере качественно, применима для описания рассеяния в средах.
Рассмотрим столкновение между атомом одноатомного газа, имеющим скорость V, и нейтроном, имеющим скорость V. Тогда относительная скорость
260
Vr двух частиц равна vr = v — V, и если — косинус угла между векторами скоростей, т. е. [A = V • V/(vV), то абсолютная величина относительной скорости есть
Vr = Yv2+ V2—2vV[i.
Если P (У)с1У — вероятность того, что ядро (или атом) имеет скорость V в интервале dV, то вероятность того, что нейтрон испытает столкновение с таким ядром, равна
где Crso — не зависящее от энергии макроскопическое сечение для свободного (или изолированного) покоящегося атома, т. е. произведение микроскопического сечення рассеяния атома на число атомов в единице объема газа*. Полная интенсивность столкновений (рассеяний) для нейтрона со скоростью v находится интегрированием уравнения (7.21) по всем скоростям атома V. Соответствующее макроскопическое сечение рассеяния Os (и) получается делением этой величины на скорость v. Следовательно,
Если А — относительная масса ядра, т. е. M = Am, где M —действительная масса ядра, am — масса нейтрона, то для изотропного максвелловского распределения скоростей ядер имеем
где направление скорости V выбрано в качестве полярной оси сферической системы координат. Если это выражение подставить в уравнение (7.22), то интегрирование по азимутальному углу <р дает множитель 2л и, следовательно,
