Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
где E = (1/2)mv2 — кинетическая энергия нейтронов; P2 = АЕ/(кТ) и erf P— функция ошибок (см. Приложение).
Представляет интерес рассмотреть поведение os (E) в предельном случае малых и больших значений энергии нейтронов. Когда энергия E мала, то функция erf P пропорциональна р. Уравнение (7.24) в этом случае приводится к следующему виду:
Таким образом, когда энергия нейтронов E (и, следовательно, скорость V) мала, то сечение рассеяния пропорционально Mv.
Физический смысл этого результата можно понять, отмечая, что когда скорость нейтрона v очень мала, то относительная скорость vr почти равна скорости атома V. Интенсивность столкновений [см. уравнение (7.21)] оказывается тогда не зависящей от скорости нейтрона и определяется только скоростью атомов V. Эта интенсивность столкновений в таком случае зависит просто от того, как движущиеся атомы налетают на нейтрон. Так как сечение рассеяния есть вероятность столкновения на единицу длины пути нейтрона, то она
* Если в качестве а/г в разд. 7.1.3 принимается макроскопическое сечение, то оно идентично as0.
Вероятность столкновения в секунду = VrOs0 P (V) dV, (7.21)
(7.22)
P (V) dv = (М/2лкТ)№ ехр-(—AlV2/2kT) VHydpdV, (7.23)
OO
— I о
После вычисления интегралов придем к результату
[(Рг + тИР+ -р=-Эехр(— Pi)] . (7.24)
гг /Р\ 0SO 0SO ГГ
Os(E) ~ —-------------- для малых с.
P V
(7.25)
261
в 1/и раз больше интенсивности рассеивающих столкновений. Следовательно, сечение рассеяния для очень медленных нейтронов пропорционально Mv.
При высоких энергиях erf Р~>1, и так как P2 велико, то уравнение (7.24) приводится к виду Crs (E) = os0> т. е. сечение рассеяния равно сечению рассеяния изолированного атома.- Как и ожидалось, при высоких энергиях нейтронов сечение рассеяния не зависит от теплового движения атомов газа. Такое же поведение Crs (E) в предельных случаях низких и высоких энергий следует также из законов рассеяния для более реальных систем.
7.3.2. ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Чтобы рассчитать функцию рассеяния os (Et) fs (E' -> -> Е, (X0), где (X0 — косинус угла рассеяния нейтрона, необходимо прежде всего определить вероятность P (и'-> V, (X0) того, что нейтрон со скоростью и' приобретает скорость V в результате столкновения с атомом одноатомного газа*, имеющим скорость V. После того как эта вероятность определена, результаты нужно умножить на vrP (V)crs0/i/ и проинтегрировать по всем скоростям атомов, т. е. всем V и (х, чтобы получить osfs. Эта процедура довольно длинна, поэтому здесь приводится лишь конечный результат [13].
Определим значения є и х в виде: є = E' —E — изменение энергии (или передача энергии) нейтрона**; = т \v' — v\ — изменение импульса (или передача импульса) нейтрона = m^V2 + и2 — 2^i0vv' или
^2X2 = 2т{Е' + ?—2[і0УЕЕ' ),
где % — приведенная постоянная Планка (см. разд. 1.1.2).
Результат упомянутой выше процедуры получения oJs можно записать тогда следующим образом:
Хехр —
Ат-------( I (7.26)
2X2 V 2Ат ) J
2 кТ%
Очевидно, что выражение VE'/Eo^s для рассеяния нейтронов одноатомным газом с массой Am является функцией только е и х, т. е. изменений энергии и импульса нейтрона. Ниже показано, что это справедливо и в общем случае для любых законов рассеяния, хотя вместо изменения абсолютной величины импульса х в Hi-їх может фигурировать вектор %.
В предельном случае T -> 0, т. е. когда Е/(кТ) очень велико, уравнение
(7.26) приводится к соотношению, аналогичному тому, которое использовалось в теории замедления для нейтронов с энергией, лежащей выше тепловой области (см. гл. 4). Таким образом, когда температура T мала, то экспонента в уравнении (7.26) очень мала, если только не выполняется условие
є « %2 х2/(2тА).
Если в это условие подставить приведенные выше значения є и х, то можно видеть, что оно эквивалентно хорошо известному результату (см. разд. 1.1.2):
(А
+ »/f
* Обычно при рассмотрении рассеяния на одноатомном газе употребляют термин «свободный газ». Однако в данном случае предпочтительнее более специфический термин — «одноатомный газ».
** Иногда изменеиие энергии обозначается Йсо. Ho это приводит к путанице с другим общепринятым использованием символа © (см. разд. 7.4.4).
262
Далее, если экспоненту в уравнении (7.26) проинтегрировать по небольшому интервалу углов, который включает в себя величину ^i0- то получим, что для небольших T справедливо следующее соотношение:
I f Лт Г Am / A2 х2 N2]
V 2лKrA2X3 еХр_[ 2кТ%*у? \ 2Am /J-
6 +d/f+(^-')/?]!•
2 VЕЕ
Если полученное выражение подставить в уравнение (7.26), то можно непосредственно установить, что для низких температур (или энергий Е, больших по сравнению с кТ) имеет место соотношение
Os(E')fs(E'-^E-, ^0) =
=-----Es»---611A0—— Г(Л H- I) I/~——(А— 1) Л/
2я(1 —a) E' (г 2 у E' ¦ \
ЕУ_
E
аналогичное уравнению (4.5).
7.3.3. ФУНКЦИЯ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ ДЛЯ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА
Рассмотренная выше функция рассеяния содержит изменения энергии и импульса, поэтому трудно выделить в ней зависимость от температуры. Значительно проще для понимания, если функцию рассеяния проинтегрировать по всем углам рассеяния |х0, чтобы получить функцию передачи энергии os (E')fs (E' -> Е), т. е.
