Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
*-> g> обладает свойством дифференцирования g-A> = j (g)hy + g> 1 (g):
g- A) = PM (g-h)*ev- — e° = p^(?*) pv (A*) ev — e° =
= Po (g*) Pv (A*) ev + p+ {g*) e+ — e° = j (g) A) + g}
относительно представления j (g)hy = рё (g*)A> моноида в Jf и тривиального представления 1 (g) = \Л в С-
(iii) =#¦ (ii): очевидно, что абсолютно непрерывная мера Яд (Ь) —
— ^ / (х, b)dx, определяемая функционалом <g> = i (е , р (g*)e)dx, удовлет-д
воряет условиям Яд (Ь*) — Яд (Ь)* И Яд (и) — 0, поскольку этим же условиям удовлетворяет функционал I (х, Ь) почти всюду на X. Условная положительность (1.4) вытекает из положительной определенности 0, обес-
печивающей условную положительность формы <g>:
, 2 Щ </ ? А> X/. = s щ «/*А) 4- </*> + <А» хл =
t,he.M f,heM
= 21 ** </*А> х,( -f 2 х* 2 «л <А> + S х* </*> S *h = 21 х* </*А> хл > О
/. '* 1 h f h t,h
для любой функции х = {х^} с конечным носителем, удовлетворяющей условию 2 *g = 0.
яем
(ii) (i): если функция Яд (Ь) является (комплексной) абсолютно непрерывной мерой, то фд (b) = ехр {Яд (b)} обладает свойством фид^ (b) —
— I I фд; (Ь) безграничной делимости, причем существует предел (1.5), совпадающий в силу фД (Ь) -*¦ 1 при Л I {х} с производной Радона — Никодима lx (b) = d In ф (b)/dx как предела отношения Яд (Ь)/цд jio сети подмножеств ЛЭх системы разбиений Витали измеримого пространства X. Функция & <рд (Ь) для любого интегрируемого Л является положительной в смысле
(1.1). В самом деле, для любой комплексной функции (ih-xj с конечным носителем
S **(Яд (а ?с) — Яд (а*) — Яд (с)) хс — 2 ха*Яд (а с) хс > 0,
а, се*? а, се-Й
где у.ъ — *.ь, b Ф и и х! = х„ - 21 так что 21 Хь = 0, и учтено Яд (и) = 0.
Ье.;/з
58
В. П. БЕЛАВКИН
Благодаря этому
23 xj exp {Ад (a if с)} хс = 23 *д* ехр {(а*с)} Хд > О,
а, сес53 а, сеЯ?
где хд = xj, ехр (А,д (b)}, и учтено (1.5) и ?.д (b*) = Хд (6)*.
(i) =*> (iv): Поскольку фд — безгранично-делимое состояние на S3 и ф* (Ь) —*¦ 1. V6 при цд —>- 0, предел 1Х (Ь) определяется как логарифмическая производная In (b) в смысле Радона — Никодима от меры ?„д (b) — = In фд (Ь). Следовательно, функция х *-*¦ lx (b) является интегрируемой и почти всюду удовлетворяет условиям lx (a if с)* = 1Х (с if а), 1Х (и) = О, 23 x*lx (a if с)хс ;> 0, Ух: | supp х | < оо, 23 *ь ~ О» в чем нетрудно
а, гея? I е я
убедиться непосредственно для разностной производной (b) (фд (b) — 1)/цд
и затем перейти к пределу А | {х}. При этом ^ lx (b)dx = In фд (Ь) в силу
д
абсолютной непрерывности.
Рассмотрим множество 91 комплексных функций а = {ай} на S3 с конечными носителями {Ь ЕЕ 33 | аь Ф 0} как -^-алгебру распределений относительно эрмитовой свертки
(а ? *)ь = 23 «А. би ? а = a,aif Ьи— а*.
Здесь 6а = {6Ui6} — символ Кронекера, определяющий -^-представление а *-*- 6а моноида S3 в 9t:
ба'А'вг—-&:*?» $uirh-=h’ =
относительно инволюции а* = {а** | b Fr } и единицы Ье. Подпространство 91° распределений а, у которых сумма а+ = 23 “ь — а* равна нулю, является -^-идеалом:
23 (a if х)ь = 23 23 а**с 23 23 «с = о,
ьея be.se а+к=ь оея гея?
ели а, = 0 или х+ = 0. Снабдим алгебру $1 эрмитовой формой (а | х) (х) == = 23 I {х, Ь) (а if х)ь, имеющей для каждого х Er X вид
(а | х) = 23 &*1 (а ? с) хс — 23 <а*с> хс -f a_xt + а+х!,
о у я, с&<59
где <а*с> (z) = lx (a if с) — 1Х (а*) — Z* (с), а* (,г) = 23 1х (Ь) аь = а~ (х),
hC—tiffi
являющейся неотрицательной (а | а) ^ 0 на а (= 91°. Факторизуем 91 по подпространству
9U (х) = (а е # I (« i х) (ж) =0, Ухе 91},
полагая а 0, если «ЕЛ1 (я). Условие «2 0 означает, в частности,
а+ (*) = (а ) 6„) = 0 и
(а | а) (х) = 23 а* <.а*с~> ас ~ (а° | а°) = 0,
(I, с?<^
где аь — ab, Ъ Ф и, аи —- аи — 23 аь¦ Отсюда следует (а | х) = а_ = 0
для любого х, удовлетворяющего условию х+ (х) — 1, поскольку при этом (а | х) = (а° j х‘) + а_х* + а+х* равно а_ в силу а+ = 0 и («’ | х°) = 0
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
59
из-за неравенства Шварца j (а° | х°) |2 (а° | а°) (х° | хс). Это позволяет
представить факторизованное пространство 9t/9tx (х) классов эквивалентности <х | (.г) = {а* ?Е 91 | а — х <= (х)} в псевдоевклидовом прост-
ранстве & (х) троек с = (с_, с0, с+), с+ ЕЕ С, с0 €= $0(#) = 9t°/®x (х) с индефинитным произведением (1.8) с помощью псевдоизометрии <х ) (х) н* с (я),
с (х) = (х_, <х° I (х), х+ (х)),
= S **> *+= S ць*)щ,
ь&я be®
«а I, <х I) (я) = а_х* (х) + (а° | х°) (х) + а+ (х) х*
Заметив, что представление 6 : b (6Ь ? а | х)
(а | х) (х). 6ь является эрмитовым:
(а | 6ь°х),
S Hb)(<*itbb-x)b
ь&л
где а-х = (а if 6„) ^ х, получим, что 6ь-а х 0, если a zz 0:
(а | х) = 0, Ух е 9t ==> (бь-а | х) = (а | Ьь if х) = 0, Ухе 9t.
Это позволяет определить для каждого b ЕЕ 33 оператор р (Ь) <х | = <6ь-х | и р (6*) = р (6)* с покомпонентным действием
(6Ь ? х)_ = х_, (Ьь if х)° = 6Ь * х° + х! (6Ь - 6И)*,
(Ьь ? х)+ = х_/ (6) + (х° 16Ь — 6и) + х+,
задаваемым умножением р (Ь*)с — сВ, р (Ь)с — сВ^ треугольной блок-матрицы
1 Ро (**) Р+(6*)~ с "с-+Р0 (Ь)с° -Ьр +(Ь)с+~
в = 0 Ро(**) Р+(**) , вь с0 = 0 +Ро(*)с° + р“(*)с+
