Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах" -> 2

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах — РДХ, 1992. — 61 c.
Скачать (прямая ссылка): haoticheskiesostoyaniya1992.pdf
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 28 >> Следующая

а#а = (а1*с}как, а‘*с*как, а‘*с?кяк) = (а*а)#,
причем (а | Pv) — (Р#сс | у) относительно (полу)скалярного произведения (а | а) = = | ta‘ + а2 |2. Благодаря этим свойствам можно ввести
четырехмерную алгебру 53 — 91 0 С с элементами b — (a, Р), а е= 91, р ее С, инволюцией b* = (а*, р*), умножением
(4) .* b*b — (сс#а, а*-а), а*-а: = (а | а)
и линейной формой I (Ь) = р, определяющей полускалярное произведение на 53: (b | b) = l(b*b) = a*-ос. В результате мы получаем квантовую алгебру Ито 33, которая является некоммутативной ассоциативной алгеброй с эрмитовой I (Ь*) = I (Ь)* положительной, I (b+b) > 0, формой I: 33 -*• С> имеющей тривиальный нулевой двусторонний идеал
,7 = {b GE S3 | 1(b) = I (аЬ) = J (6с) = I (аЬс) = 0, Va, с е= •©}•
Примем это свойство J = {0} за определение (абстрактной) алгебры Ито (S3, I), в качестве которой можно рассматривать любую ассоциативную инво-лютивную алгебру, факторизованную по нулевому идеалу J положительной эрмитовой формы I. Выбирая самосопряженный базис {е} — е? \ / =
= 0, 1, . . .} в S3 таким образом, что I (21 P;?;j - Р°. общую конечномерно
ную алгебру Ито можно также описывать эрмитовыми структурными коэффициентами
(*^) ^ik “ О:ir 21 CnjClcm ~ 21 c'i.kCjmr
Jj>0 j.^O
определяющими таблицу умножения dAdAк = 21 cikdAj базисных диф-
/>о
ференциалов и являющимися вещественными лишь в случае коммутированной 33. При этом с0 = 1с®*](Д-5>о есть неотрицательно-определенная матрица
комплексного (полу)скалярного произведения I (b*b) = 21 Р‘*с"кР1с. Ha-
г. к^о
пример, стандартное пуассоновское исчисление dndn = dn ассоциировано с простейшей алгеброй Ито
33 = с, ь = р ~ ъ* = р*, Ь*Ъ = I р j2, I (Ь) = р,
содержащей единицу 1 ЕЕ 33. Стандартное винеровское исчисление dwdw = = dt, dwdt = dtdt = = 0 ассоциировано с двумерной нильпотентной
алгеброй Ито 53 — С 0 С (без единицы): b — (а, Р) >-*- Ь* = (а*, р*); Ь*Ь = (0, I а|2), I (Ъ) = р.
50
В. П. БЕЛАВКИН
Хорошо известно [8), что как пуассоновское исчисление, так и винеров-ское можно реализовать как подисчисления квантового стохастического исчисления в пространстве Фока относительно вакуумного состояния 1 = 1^, полагая, например,
w (t) = А_ (i) + А+ (i), п (<) = tf +А_ (<) + Л+ (0 + N (<)•
Естественно возникает вопрос, может ли быть реализовано таким же обра зом произвольное (некоммутативное) исчисление, соответствующее (абстрактной) алгебре Ито (38, I)? Уточним, что речь идет об некоммутативном исчислении стохастических интегралов по операторным представлениям А (/, 6) =
— 2 р Л; (t) процессов с заданными ожиданиями Е [ Л (t, 6)) =¦ tl (6) = j> о
= р°? [Л0 (?)1 и независимыми приращениями d.Л (t, 6) = Л (t г dt, b)—
— Л (t, 6), Ь е 38, реализующими таблицу умножения dA,dA}l -- ciadAj:
j> о
(5) d\ (t, 6)* dA (/, 6) = ? P,'*c/Iiplf dA, (*) = dA (/, 6*6).
J, к >0
Мы дадим положительный ответ па этот вопрос, сведя его к построению канонических представлений безгранично-делимых производящих функций
(7) Ф‘ (6) = Е [л* (6)1 - ехр {</.(6)},
определяемых математическими ожиданиями «экспоненциальных» операторов л1 (6), 6 -‘Jo,— решений стохастических дифференциальных уравне-
ний
(8) dn* (6) = л* (6)dA (i, 6), л" (b) = /.
В главе 1 такие функции определяются решением уравнения dtp1 (b) — = ф( (6)Z (6)d/, ф° (fc) = 1, полученного усреднением Е уравнения (8) с учетом независимости приращений dA (t, b) от л' (b).
Применение формулы Ито
d (л( (b)*л' (b)) = dnl (b)*dлt (b) -f dn' (Ь)*л* (b) 4- л* (b)*dлl (b) =
= л' (b)*n‘ (b) dA (t, b* + 6*6 -f 6)
дает правило умножения
л1 (6)*л? (6) = л* (6* + 6*6 + 6) = л( (6 -jr 6),
где 6-^6 = 6*-6 определяется новой ассоциативной операцией a-с = и + + ас + с, превращающей -^-алгебру 38 в -^-моноид — инволютивную полугруппу, в которой единицей и 38 служит нуль 0 : 0 • 6 = 0 + 6 = 6. Отсюда следует положительная определенность 2 ф* (а ? c)h*\c > 0 и нормировка
а, с
Ф* (и) — 1 функции ф( для каждого t относительно этой новой полугруппо-вой операции, инволюции ^ и единицы и — 0 в 38 как результат положительности Е [Х*Х] >0 и нормировки Е [Л -- 1 математического ожидания (2) для X — S W ^ ^ л< (0). Всякая такая функция ф!, которая включается в непрерывную однопараметрическую полугруппу {Фг | г?Е е IR+}. фг (6) ф' (6) = (Ь), ф° (6) = 1 производящих функций на Зв, на-
зывается безграпичпо-делимым законом (91.
В главе 2 мы выполним программу Ито для квантового стохастического исчисления в свободной от размерности форме, доказав непрерывность квантовых стохастических интегралов в фоковских шкалах и построив некоммутативную теорию многократных стохастических интегралов, определяющих решения линейных квантовых дифференциальных уравнений в кано
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ II СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 51
нической форме. При этом будет использован подход, основанный на явном определении этих интегралов в фоковском представлении, позволяющем распространить их и на неадаптивные операторные функции. Получена также функциональная квантовая формула Ито, которая записывается в псевдопуассоновской форме [10]
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed