Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах" -> 3

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах — РДХ, 1992. — 61 c.
Скачать (прямая ссылка): haoticheskiesostoyaniya1992.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 28 >> Следующая

(9) df (Xt) = 2 [/ (X, + DO - / (Xf)1’¦ d\5 (/),
j> 0
где [(X+ D)m - X"T' = D’m для / (X) = Xm, D}0 = 0, V/ > 0, DJm+l =
= XD’m 4--D’Xm4- D'cIkD*. При этомХ есть канонический образ (X, 0)
1, k>o
в формальных суммах X + D = (X, D), D = (0, D), снабженных инволюцией (X + D)* = (X*, D*) и произведением
(10) (X + D)* (X + D) = (Х*Х, X*D + D*X + D*D),
где X*D — {Х*1У | j ^ 0}, ]}*X — {1У*Х | 0), D*D — { 2 D*dkDk |/>0>,
f(X) = (/(*)• 0) и /(X + D) вычисляется как степенной ряд относительно этого произведения.
Эта формула, имеющая смысл для любой аналитической функции /, является новой даже в случае классического операторнозначного процесса Х(, определяемого стохастическим дифференциалом dXt = 2 DjdAj (t) с со-
1 7>0
гласованными А = {DI | } 0}. Заметим, что в такой разностной форме
можно записать также и нестохастический дифференциал df (Xt) для дифференцируемой операторной функции Х(, некоммутирующей с dXt = Dtdt. Соответствующая алгебра 3t является нульмерной, а алгебра Ито .‘53 =
— 9Г0С — одномерной с вырожденным произведением b+b = 0, VfeEE С» реализуемым исчислением dtdt ~ 0 нестохастических бесконечно малых dt. В частности, для / (X) = Хт получим из с°е0 = 0
яг
dxr = [(X, + D,)m — ХГ]МА0 = S xr~nDtxrldt,
71—1
как частный случай формулы (9) при / = 0, dA*o = dt для I> ~ Z): df (Xt) = [/ (Xt + D() - / (Х()]°Л, X + D = (X, D),
[(X + D)m - X"T = Dm, D0 - 0, Dm+l = XDm + PXm.
Здесь X = (X, 0), D = (0, D) и учтено, что X’n = (Xm, 0),
m m
(X + D)m = Xm + ^ Xm-nDX"-1 = (Xm, S X'^DX"-1),
I.=l Г.—1
поскольку DXnD = (0, DXnc^D) — 0 для dA0dA0 — cJodAe = 0.
Автор выражает благодарность профессору Р. Хадсону, профессору Я, Г. Синаю и профессору А. С. Холево за обсуждение статьи и полезные замечания.
52
В. П. БЕЛАВКИН
ГЛАВА 1
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ БЕЗГРАНИЧНО-ДЕЛИМЫЕ ФУНКЦИИ НА ?-ПОЛУГРУППАХ
И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Введение
В этой главе изучаются два типа представлений, ассоциированных с положительным безгранично-делимым состоянием на произвольной -^-полугруппе 33 Ш1. Первый «дифференциальный» тип связан с индефинитным представлением условно-положительных функций 3i С в псевдоевкли-довом пространстве Минковского, построенном в [121. Для случая группы 3S оно может быть получено простым обобщением [13] конструкции Гель-фанда — Наймарка — Сигала (ГНС) с положительно определенных на условно-положительно определенные функции. При этом гильбертово пространство ГНС представления заменяется на псевдогильбертово, разлагающееся в прямую сумму гильбертова и одномерного комплексного пространства в соответствии с единичной коразмерностью = 0 условной положительности (1.4). В первом разделе показывается, что такое представление может быть реализовано треугольно-блочными матрицами вида
I*
(0.1) В
. Ь-, р -I Г1, ь'+, р*
, в, ь+ . = О, В*, Ь-*
, 0, 1 J L0, 0, 1
с псевдоэрмитовым сопряжением (В^А* | к) = (fc[| ВАг) относительно индефинитного скалярного произведения
(0.2) (к' | к) = к*_к+ + (к0 | к0) + к*к_,
где кч (= С ЕЭ к_, к0 ?Е #0 — вектор гильбертова пространства Ж0„ При этом алгебра матриц А = В — I реализует таблицу умножения
(о.з) ia e"V(“ ‘"'I-ia% а*А)-(а a1f = (v “Ч
\я+ л) \я + а! \Л*а+ А* а) ’ \а+ А/ \а~* A* j
в терминах а~ = Ь~, а+ ¦— Ь+, А — В — /, а == р для стохастических дифференциалов Ито квантового исчисления Хадсона — Партасарати [14, 15] с инволюцией = В^ — I, определяемой в (0.1) эрмитовым сопряжением А* — В* — I, в Ж = где I — единичный оператор в Ж.
Это наблюдение, положенное в основу новой формулировки [16, 17] квантового стохастического исчисления, позволяет распространить его на произвольные алгебры с безгранично-делимым состоянием «р. Отметим две частные алгебры классических стохастических дифференциалов в случае одномерного = С:
1) винеровский случай: А = 0, а~ = а+, а С,
2) пуассоповский случай: А Ф 0, а~ = а* — 0 = а.
Рассматривая А как коэффициент ЛЦ при стандартном пуассоновском
дифференциале dn — cJAj, a" = at как коэффициент А0 = А0* при вине-ровском стандартном дифференциале dw = dA® + dAo, а а как коэффициент А+ при dt = dа!, получим в обоих случаях реализацию классической формулы Ито для стохастического дифференциала dz = 21 ^4vdA^ =
= <А, dA> в виде
d (х*х) = x*dx + dx*x + dx*dx = <я*А + А^х + А^А, dA>
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
53
разностного умножения Y^Y — з* х1 = х*Х + + А^А треугольных мат-
риц Y -= xl + A, Y^ — x*l f А^, где I — единичная 3x3 матрица! а А^А определяется таблицей умножения (0.3).
Во втором разделе строится второй «интегральной» тип представления безгранично-делимого хаотического состояния на Зл с помощью экспоненциального индефинитного ассоциированного представления и устанавливается его связь с исчислением ядер Маассена — Меера 118—20], определяющих хаотические разложения квантовых случайных величин и процессов.
Алгебра этих ядер оказывается изоморфной групповой алгебре экспоненциального представления 34 в псевдофоковском пространстве, причем ее фоковская проекция определяет ассоциированное безгранично-делимое представление Sir', порождающее соответствующее квантовое стохастическое исчисление в подходящей гильбертовой шкале [211. Отметим, что такой подход естественно приводит к конструкции представления Араки — Вудса (221, ассоциированного с безгранично-делимым состоянием в случае группы 3^..
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed