Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.1) 2 х*Хд (а*с) хс > 0, VxbeC: |suppx| < оо
о ,1БЙ
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
6»
функции (Ь) = </>д>, Ьд (х) = b, X А, Ьд (.г) = 0, х Л, относительно нового произведения ас = а с — а — с, определяемого в терминах бннарнок ^-операции как разность
а+с ----- a if с — a if и — и if с, Va, с ЕЕ ."9.
Это следует из аддитивности формы <#>, в силу которой
S Ху </ ? *> Хл 2 х* «/**> + </*> +<Л» =- 2 х* </*Л> X/,
i, heM i.isJti
для любых х? ЕЕ С: i supp х | < °о таких, что 2хг = 0, где в правой части можно произвольным образом изменить значение хи, поскольку е*Ь — —е — = Ь*е и <0*?> — 0 — <?*()>. Состояние ф (g) e<fi>, соответствующее аддитивной и положительной в указанном смысле форме <g), является хаотическим:
Ф (/ U h) = е</+Л> = Ф (/) ф (*). V/, h ее Л: fh = О,
поскольку f-h — / -}-• fh + h и fh — 0 для любых дизъюнктных / и h. Такое состояние будем называть псевдо-пуассоновским, если произведение (f*h) (х) = = / (x)*h (х) обладает свойствами гомоморфизма по каждому из аргументов:
f* (g — h) =--т f*g — f*h, (/ — g)*h = /*Л — g+h.
Иначе говоря, псевдопуассоновское состояние описывается экспоненциальным функционалом <р (/ + Л) — ф (/) ф (Л), V/, Л ЕЕ Л, являющимся поло-жительно-определенным в смысле (1.1) относительно операции / if h — = /* + Л + /*Л, и г = 0, поточечно определяемой с помощью операций а 4- с, ас на кольце (или алгебре) .Й с инволюцией ft* и нулем и = 0.
Заметим, что ассоциативность недистрибутивной полугрунповой операции а-с вытекает из дистрибутивности (и ассоциативности) умножения ас, что становится особенно очевидным в случае наличия единицы 1: 1Ъ — Ь = = М у кольца 36 в силу соотношения
1 4- ас = (1 4- а) (1 4- с), У а, с ЕЕ .®.
В силу этой дистрибутивности канонические отображения k: g ЕЕ
М g у е
X. к*: g ЕЕ -М >->-<# ЕЕ Ж1*, определяющие минимальную декомпозицию
(1.5) аддитивной (линейной) положительной формы <#>, являются аддитивными (линейными), причем «-отображение i: g (ЕЕ М } (g) — /, удовлетворяющее в соответствии с (1.6) условиям
i (g*) hy = gif hy — g*y — hy = g*hy, Vg, h(=Jl, <f*i (g) = </ ? g — <g — </* = </*?, Vg, / ее
также является аддитивным (линейным):
i (f + h) = i (/) 4- i (Л), г (0) = 0, (i ().?) = Яг (g)).
Более того, отображения г* (fe) = jx (b) — Ix являются «-представлениями кольца (алгебры) в операторных «-алгебрах "й (-^х) = {5:
-> М'х | В*ЖХ CZ ^x} полигильбертовых пространств — {А:: || jx (а)*А:|| <С < оо, Vfl?
ix (а*с) ==- (я ? с) — (а)* — is (с) = ix (a if с) — 1 — ix (а*) —
— ix (с) = (ix (а) + 1)* (ix (с) + 1) — 1 — ix (а)* — ix (с) = ix (a)*ix (с).
Комбинируя эти соотношения и учитывая, что в силу аддитивности (линейности) функций lx {Ь) в интеграле (1.2)
1Х (а*с) = lx (ait с) — 1Х (а)* — 1Х (с) = кх (а)*кх (с)
70
В. П. БЕЛАВКИН
почти всюду па X, мы получим четырехкомпопентное разложимое ^-представление i (х, g) — is (g (х))
. /м /М6> kt(hA . /'*<*> к*(ьА*
( ) 1х{ ) /Х(Ь) )’ tx{b ) ix(6))
^-кольца 33 с обычным матричным эрмитовым сопряжением ix (fc)+ и необычным умножением, определяемым таблицей Хадсона — Партасаратн [14J
/о /М0)*** (')’ (?) \ «г ...
3.3) гх (а*с) , * * J • Va- с ^
\ ix(a*)kx(c),
Оно имеет естественную реализацию i (х, g) = j (х, g) — 1*, определяемую в псевдоевклидовом полибанаховом пространстве Ж = L1 (X) 0 Ж 0 L°° (X) каноническим треугольным представлением j (х, g) = jx (g (х)) ^-моноида Л с обычным матричным умножением и необычным — псевдоэрмитовым сопряжением (2.2):
-0 к(х, g)* I (х, g)* -
0 i(x,g*) k(x,g*)
0 0 0
(3.3) i(x,g*)
i (x,g)b-
Сказанное означает, что фактор-кольцо Л-!.У по нулевому ^-идеалу ,У =
— {g ЕЕ Л ) i (g) = 0} простых функций со значениями g (х) ЕЕ ,7Х = = (0), где i*1 (0) = {b gE 33 \ ix (Ъ) = 0}, можно описывать как г (Л)
четырехкомпонентными функциями д = (gv)v=o,’+’ например вида д (х) — = (g (х)), go •= i (g), g°+ = lc (g), go = k* (g), g~ = I (g), образующими b-кольцо относительно эрмитова сопряжения g^ (х)" ~ (х)* и таблицы
покомпонентного умножения (3.3). Это позволяет представить аддитивные интегральные эрмитовы формы
(3-4) И (g) = $ т (*, g) dx, т (х, g) = тх (g (х))
на Ь-кольце Ж четырехкомпонентными функциями
f t1 ( ^(x,g)^(x)g7(x), т+о (х, g) = /По (х) gl (х),
т (х) „ „ (х), 0 _ „ о
\т_ т0 } т_ g) = go (х) т_ (х), ГП0 (х, g) = <?„ (х), т0 (х)>,
ml (х, g+) = ml (х, g)*, ml (.г, g*) = т+й (х, g)*, ц (х, g+) = ц (х, g)*
в виде
(3.5) т (х, g) = <t (a-, g), т0 (х)} + т* (х) к (х, g) +
-f к* (х, g) т (х) + ц (х) I (х, g).
Здесь ц. (х) еЕ 1R (для почти каждого х), т_ (х): Шх -> С — векторная линейная форма т_ = т на предгильбертовом пространстве <?х — {кх (Ь) | b Е= ЕЕ 33), сопряженная к форме т+0 (х): к Е=ЖХ >-*- т* (х) к ЕЕ С, Щ (х): В ЕЕ ЕЕ 33х >-+¦ <В, т0 (х)> Е: С — операторная линейная форма на «-подалгебре 33х = {ix (b) I b ЕЕ 33} операторов В, В*: Жх ->¦ Жх. Как показывает следующая теорема, этим, по существу, и исчерпываются линейные положительные логарифмические формы р.: Ж —> С безгранично-делимых состояний VF (g) --- емО’’) на ^-алгебрах Л, абсолютнонепрерывных относительно псевдонуассоиовского состояния ф (g) = е<-я> в смысле J С J»1. Здесь 3* — ^-идеал ступенчатых функций g: х ЕЕ X >-*- g (х) ЕЕ ¦Ух со значениями в
