Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
я (g ? /) = г {fj (g^j (/)]©} = е fj® (g)H е fj® (/)] = л (g)*n (/),
всякая фундаментальная последовательность остается фундаментальной и после умножения на я (g): || я (g) h ||? = || /гЦ4'*^. Это дает возможность продолжить операторы е fj® (g)] = Ej® (g) Eb до непрерывных операторов я (g) на пополнении Ж относительно описанной сходимости в Г (Ж). В силу непрерывности алгебраические соотношения, определяющие свойства ¦-представления я = е о j® на Г (*^), остаются справедливыми и на пополнении Ж. Очевидно, что линейная оболочка Z7. я (g.;) определяет «-подалгебру операторов е (К) S 'S (Ж), являющуюся гомоморфным образом b-алгебры СЖ® линейных комбинаций К =- 2Х j® (g.) разлон<имых операторов Gf — 1 © © G, © G®2 ф . . ., где G4 — j (g;). Напомним, что линейные операции в СЛ®, где SB ~ j d (¦)'), определяются над коэффициентами покомпонентно, а умножение К К определяется, как и во всякой полугрупповой алгебре, ¦^--операцией в Ж: К^К = (gi it gr)- Отсюда нетрудно найти, что
Kb описываются по формуле (2.5) ядрами К (<•)')*, где таблица ш' из четырех
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
67
подмножеств отличается от со — (оД'), cov €Е ?2, перестановкой со0 и со+, поскольку это имеет место для порождающих ядер (2.6), и К^-К определяется ядром (2.9), поскольку из j® (/)-j® (g) — j® (f-h) это имеет место для порождающих ядер (2.6):
г® (со;, / • g) к® («+, /• g) /® (&v / • g) A:*® (©oi / • g) ^ [f (/) j (g)]® Ы ®
® [/ (/)k (8) + к (/)]* К) [/ (!) + к* (/) к (g) + I (g)]® (со;) [к* (g) +
+ (/) I (g)]® («о) = S _ I (/)® (g)® (T) [A* (/) & (g)]® (IV) j (/)® X
oL_xL. y+=a)+
x (coo) / (g)® (Wo) ® o s I) (/) * (g)]® Ы ® (/) K) ®
U+L. o+=a)+
® 2 k* (g)® (T-) ® [A* (/) j (g)]® (-Jo) =
°oL T~==;<l,o
S S /® (a, /) A® (co+\ rl, /) /® (coo (J «°+> /) к*® (Vo [J ъч, /) X
UvLaiv cLt-(о .\u.
X I® (t, g) k® (t-; ? v+, g) /® (o>0 U »0. g) к*э (®o \ Uo- g)-Интегрируя (2.9) по ю+ Er ?2, получим формулу умножения ядер К (col. (>V + Л — со о) --- ^ К (со) d<o+:
$[KbK](®)d©; =
¦ f ,l^.v I / «n ul\ ( т, «“Чг:”
^dadxdf- 2 *b • о ^ t ] a:( „ : 0
им. \®+\"+ W«L»+ VvVL.:«T. o>„. v0
UV—1tov
= 2 2 S *V+\ v+, «0[Ju°, Vo u K (»+ U v+> Щ U vo > «0 \ ’^) dv+ ,
t-oGflo и +Си+
где (соcoq, coq) = ^ (со) do>0 = (coo, coq, co°)*. Это определяет f-алгебраическую структуру для трехаргументных ядер, связанных с ядрами Маассена — Мейера М (соа, х. юо) 191 взаимнооднозначным преобразованием
К (со°, и, со0) = S М X. ®о) ® (« \ X)-
>.Си
Рассмотрим, наконец, b-инвариантноо подпространство b-алгебры ядер J (со), определяемое условием \ J (со) dw+ — 0. Это есть нулевой идеал гомоморфизма {К (со)} >-+ {К (ш°+, о)0, о>0)}, преобразующего сопряжение b в -(¦. Следовательно, это есть двухсторонний идеал (Ь-идеал):
J (KJ) (со) с1ы+ 0 = J (JK) (со) do~, VK,
содержащийся в нулевом идеале представления е: е (J) = 0, если / (ш+, со0, <л>о) 0. Можно показать, что благодаря безатомности моры dx на X этим и
исчерпывается нулевой идеал представления е. Это вытекает из единственности стохастического представления (2.8), доказанной в терминах ядер Маассена — Мейера в (18, 191. Следовательно, интеграл К (со°, сод, со0) —
68
В. П. БЕЛАВКИН
= § К (w) dco+ является гомоморфизмом факторизации b-алгебры ядер К (<а) и по нулевому идеалу представления е. Доказательство закончено.
Замечание 2. Введем четырз типа Gц"! элементарных треугольных разложимых операторов в Ж, описываемых матрицами вида
G0+(z)
Gt(x)
to 0-1
о /(*) *¦“ (*> I
.0 0 t J
1 0
0 /(.r)
L0 0
G-(x) =
G0 (x)
0-
1 g^*) 0-0 I(x)
о 0 1 0 0-1
0 G (*) 0 I ,
0 0 tJ
и обозначим GN = e [(G0)®1 = G®, c<s> = e [(G+)®], e
eAo*>
<gA
® [(Go)®], где e есть отображение (2.8) для К (со)
- = е [(G>],
GZ (*)•
Тогда представление g (= Ж >-+- л (g), ассоциированное с безгранично-делимым состоянием ф (g) — относительно вакуумного вектора 1 - ?Е Ж, может быть представлено как «нормально-упорядоченное» произведение
4
я до = e<*>eA»*>GV*A-, Vg GE Ж, определяемое функциями G (х) j (х, g), g+ (х) =-- I (х, g), go (х) = к* (х, g), g+ (х) = к (х, g).
Действительно, произвольный треугольный оператор G в Ж с компонентами G_ -- 1 == G* разлагается на «нормально-унорядочеммое» произведение элементарных матриц:
1 *1 1 0 1 0 0' "1 0 0' "1 ^0 0“
0 G В+ 0 I 0 0 I el 0 с 0 0 I 0
,0 0 1 о 0 1 о 0 1 0 0 1 о 0 0_
Благодаря мультипликативности отображений G К = G® отсюда получим
С® и Кн-е (К) для
е [G®] == е [(G!)®I е [(G„)®1 е [(G0)<= ]e l(G_)®], что дает при G = j (g) соответствующее представление для л (g)
в li® (fiT)l-
1.3. Структура псевдопуассоновских хаотических состояний
на ^-алгебрах
В этом разделе предполагается, что на ^-моноиде Ж определена также структура аддитивной группы с поточечными операциями
(~g) (х) —2 (*)< (/ + h) (х) == / (х) + h (А'). 0 (х) --= и = е (х),
относительно которых форма (1.2) является гомоморфизмом Ж -*¦ С:
<-?> - -<*>. </ + Л> - </> 4 <Л>, <0> - 0.
Условие (1.4) безграничной делимости состояния фд (Ь) — е*л*Ь) для любого интегрируемого A CZ X при этом записывается в виде положительной определенности
