Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, в третьем разделе изучается структура и рассматриваются примеры псевдопуассоновских хаотических состояний, характеризуемых линейностью условно-положительной функции I = In / на ^-алгебре ,f?. К такому типу относятся состояния коммутационных соотношений Гейзенберга и квантовые пуассоновские состояния на некоммутативных С*-алгебрах 53, изученные в (291. Унитарные представления, связанные с безграничной делимостью состояний, а также их приложения в квантовой теории вероятностей исследовались па группах в (23—271 и на биалгебрах в [281.
1.1. Представления условно-положительных функционалов на ^-полугруппах
Пусть (X, ,А, ц) — измеримое пространство X с положительной оконечной неатомной мерой ц: А ЕЕ Л- >-»- цл, fi(lx = dx := d[i (x), 3S — полугруппа с инволюцией b >-*- b+, (а-с)* = с*-а* и нейтральным элементом и — и*, и-b — b — b-и для любого (ieS и Л — множество простых интегрируемых отображений g: X —>- fti, т. е. S-значных функций х >-*- g (х) с конечными образами g (X) {g (х) \ хЕЕ X} CZ 36 и инуегрируемыми элементарными прообразами Д (Ь) = {я (= X | g (х) = b} ЕЕ А, <С 00 Для всех b ЕЕ ЗА, кроме b — и. Определим иа Л- индуктивную структуру if-полугруппы с единицей е (х) = и, У л: Е ^ и поточечно-определяемыми операциями g* (х) = g (л)*, (j-h){x) j(x)-h (х), рассматривая Л кап объединение \JM& подполугрупп Л-ь, цд <[ оо простых измеримых функций g: X —> .Й с интегрируемыми носителями А = supp g — {х ЕЕ X | g (х) Ф и).
Удобно описывать ^-полугруппу ЗА с помощью одной эрмитовой операции а if с = а*-с, удовлетворяющей соотношениям и it Ь — Ь, (Ь if и) it и = 6, Vb е ЗЛ, (a it (b if с)) if и = с if ((b it и) if а), У а, Ь, с (= 3^, эквивалентным инволютивности b** — b операции Ь*, эрмитовости (a if с)* = = с it а и ассоциативности полугрупповой операции a-с, и u-b — b. Это дает возможность рассматривать Л как ф-моноид с левой единицей е ЕЕ Л относительно эрмитовой бинарной операции f it h — g, g (x) = / (x) it it h (x), определяющей инволюцию g* (x) и ассоциативную операцию (/• Л)(аг), Уд; ЕЕ X но формулам g* = g it е, f'h — (f it е) it h, У/, h EE JH.
Следуя 111], назовем производящим функционалом состояния над моноидом Л, или просто состоянием, отображение <р: Л. С> удовлетворяющее
54
В. П. БЕЛАВКИН
условию ср (е) = 1 и положительной определенности
(1.1) 2 **ф(/'А'й)х,1>0, Vx^eC. |suppx|<oo,
1,1
где j • | означает мощность множества supp х =- {gG i | xg ф 0}.
Введем на Л частичную операцию j[_\h — j-h для любых функций f,h ЕЕ Ж, имеющих дизъюнктные носители supp / П supp h — 0, относительно которой моноид ,М превращается в -^-полукольцо в смысле НИ с нулем 0 = е и lgn = L) gn flj gn (x) = gm (x), Vx e supp gm, в противном случае (_J g„ (x) = и). Будем называть состояние ф над Ж хаотическим, если
ОО оо
’Р ( И *») = П Ф (?„)»
/t=l п=1
оо N
где П ф(gn) ~ lim П ф(#п) Для любых функций gn^M с дизъюнктными
Т.= 1 JV-»oо
носителями: supp gn П supp gm = 0, Vn Ф m.
Это условие выполняется для ф (g) = ев случае
(1-2) <?> = j I (я, g)dx, Цх, g) = lx(g (х)),
соответствующем абсолютной непрерывности VAEE -А: Цд = 0 =ф (Ь) = 0 меры >.д (b) = <ЬД> для каждого b €Е 33, где Ьд (х) = fc, Vz ЕЕ А, Ьд (х) = = и при х А есть «элементарная» функция, называемая Ь-индикатором подмножества А С X при b и. При этом функция фд: 33 —ъ С. равная
(1.3) фД (b) = exp {j 1Х (Ь) <Ц = ф (Ьд),
д
определяет безгранично-делимое состояние над моноидом 33 в смысле равенства фд (Ъ) — ПфД; (Ь) также и в пределе любого интегрального разбиения д = 2Дь | 0, при котором фд. (Ь) ¦—>* 1 для любого b ?~~~ 33 И ПО-
ложительной определенности функций фд (b) = еал(6), образующих непрерывную полугруппу
{фд 11 е= R+}, ф"д (Ь) = 1, Фд (Ь)-ф! (Ь) = (Ь).
Необходимые и достаточные условия для функционала (1.2), соответствующего безгранично-делимому состоянию (1.3), даются следующей теоремой, в которой предполагается, что X допускает сеть разбиений системы Витали, в которой | 0, х ЕЕ А, при A J {#}.
Теорема 1. В принятых обозначениях следующие условия являются эквивалентными:
(i) для любого множества А ЕЕ конечной меры Цд эо функция фд: 33 —ь О является производящей для безгранично-делимого состояния над 33,
причем для любого b ЕЕ 33 существует предел lx (b) = liin —— (фЛ (b) — 1)
Л t {*! ^4
почти всюду в смысле Лебега — Витали [30); при этом Цд = 0 =Ф фд (Ь)~ = 1, VA €= А, Ъ е 33.
(ii) Ф (g) = ехР {(g)}, где <ЬД> = (Ь) есть абсолютно-непрерывная
комплексная мера на А для каждого b Е= 33, определяющего Ь-индикатор A6i; для любого интегрируемого A CZ X функция b *-*- >.д (Ь) является
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 55
условно положите.'ьно-определенной
(1.4) (а с) > 0, Vx : | supp ч | <^ сю, *ь = О»
о,1ёЯ \е.т
причем (и) — 0 и Хд (6*) = Хд (6)* для любого b Gr 33.
(iii) существуют: 1) интегральный if-функционал <g> = f Z (х, g)dx с комплексной плотностью 1: JI —L1 (.Y), Z (?)* = Z (g*) со значениями
I (ж, g) = 0, Vg (х) = u, ? (х, 6Д) = 1Х (6), не зависящими от Лэ х;
2) непрерывное отображение k: g >-*- gy == j* /с (х, g)dx в подпространство Ж С.
