Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
(/г j/® (^) h) = ехр {— (А: | к)} (к® | /® (g) к®) = ехр {(А: | (/ (g) — /)А:)}.
Эксплуатируя аналогичную конструкцию в псевдоевклидовом расширении JC ID Ж комплексного евклидова пространства УС, мы сейчас получим соответствующее фоковское представление и для общего вида условно-положительной формы <#>.
В самом деле, рассмотрим функциональное пространство дС — Ь1 (X) 0 © УС 0 L°° (X) троек к = к" © к° © к+, где Аг ЕЕ Ь1 (X) — интегрируемые
комплексные функции || к~ 1^ —- J | /с— (х) |dx < оо, к0 ЕЕ УС — квадратично-интегрируемые вектор-функции к0 (х) ЕЕ УСХ из полигильбертова пространства Ж = (|| к° ||' < оо | / ЕЕ *^}, к+ ЕЕ L°° (X) — существенно ограниченные комплексные функции || к* = ess sup | к+ (х) | < оо. Снабдим это комплексное пблибанахово пространство псевдоевклидовым скалярным произведением
(2.1) (*|*) = (к~ | П + (Л° | Лс) + (к+ j к') == к^,
62
В. П. БЕЛАВКИН
где к% (х) — к'х (х), к^кР = ^ к^ (х) № (х) dx = (к , к ) — прямой интеграл
индефинитных произведений (1.9) для строк к (х) — [с_, с0, с+], с* = к+ (х),
с* = к° (х), с* = к~ (.г), сопряженных относительно (2.1) к столбцам к' (х) —
= к (х): к' = кЬ.
Определим в ОС замкнутое разложимое Ь-представление (j (g) к) (*) = = j (a:, g) к (х) 33-значных функций g (х) треугольно-операторными функциями j (х, g) —¦ [pv (х, g (я)*)] канонического вида
1 к:(x,g)*, l(x,g)*
О, j(x,h*), k(x,g*) — j (x, g)b,
0, 0, 1
(2.2) j {x,g*)
где функции I (g) EE L1 (X), к (g) EE №,j (g)' Ж Ж описаны в теореме 1.
Операторы j (g), определенные как непрерывные на всем Ж вместе со
своими сопряженными j (g)b относительно эрмитовой формы (2.1) в силу неравенств
II (j (g) *Г 111 < II к- II, + II к (g) ll-ll fc° II + II I (g) II, II r IU < oo,
II (j (g) < II kc ||**'‘ + ||к (*)|N| k+ IU, ||(] (g) k)+ |U - II k+ |U,
удовлетворяют условиям (1.5), (1.6) в виде
j (/ ? h) = j (/)b j (h), j (e) = I, V/, g e=
где I = [бу] — единичный оператор в ОС-
Рассмотрим пространство Г (ОС), порождаемое «экспоненциальными»
оо
к® = @ с невырожденным нсевдоевклидовым скалярным иронзведенн-
п~-0
ем, продолжающим на Г (ОС) эрмитову форму
(2.3) (h' | h) = exp {Jj /с(1 (x) кР (x) dx} = exp {(kr | k)}
для h — к®. Благодаря алгебраическому соответствию
Г (L1 (X) 0 Ж © (X)) = Г (Ll (X)) ®Т(Ж)®Т (L°° (X))
и псевдоизометрии h >-*- h* (to-, м°, co+), ЕЕ ?2,
А. (to+, ш°, to ) h* (оГ, ш°, to+) dio~dto°d(i)+ = (hr | h), продолжающей экспоненциальное соответствие к® >-»- kf (to~, (0°, о/)*,
к® (o>+,‘to0, to+) = к_® (м_) ко (to0) kf (to+), к® (to) = ® к {х),
*00
где к^(м) = п (х), можно отождествлять векторы /10Г (ОС) с тензор-
X?~Ct)
функциями h: to- GE Q3 •-*- h (to-) GE (x) от тройки w = (to”, to0, to+) ko-
део°
нечных подмножеств to*1 d X, полагая h (w ) = h (to~, to°, to+). Банахово пространство таких функций относительно нормы
|| h. (to-) || = ^ d<a~ dto°esssup || A (to-, to0, to+) Ц2)'* <] ос ,
(i)+
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
63
снабженное индефинитным произведением (2.3), будем называть псевдофо-ковским пространством. Нетрудно проверить, что это пространство содержит «экспоненту» h = е& от канонического вектора е (х) = |6+], 6^ = О, jn = —, 0; 6+ = 1, ассоциированную с безгранично-делимым состоянием ф (g) в смысле
Ф (g) = (<,s i j® (g) *®) = exp {(e | j (g) e) = e<s>.
При этом экспоненциальные операторы j® (g): к® *-*¦ (j (g) к)® определяют b-представление в ZF полукольца Ж на инвариантном подпространстве, порождаемом действием j® (g) с® — /+ (g)® на а®, поскольку /+ (g) = I (g) L1 (X), f+ (g) = * (g) Er Ж •, j+ (g) = 1 E L°° (X). Более того, как показывает следующая теорема, представление j®, спроектированное на фоковское подпространство 5” (Z & с помощью псевдоусловного ожидания
е fj® (g)l = Е j® (g) Е'О = л (g),
остается *-представлением, ассоциированным относительно вакуум-состояния h, (со) - 1 j (со) с ф (g) = exp <g>. Здесь 10 (со) = 1 при и = 0, 10 (co) = -- 0 при о) Ф 0,
(2.4) (?(-/г) (и", to0, o+) = 10 (со") h (w°), h e f.
— псевдоизометрия (?/г | ?7г) = (/г | h), VA ? Для того чтобы
получить этот результат, заметим, что любой разложимый оператор К = = 1 ф G 0 G®2 ф ... в Г (Ж), полученный экспонированием G® треугольного оператора G = j (g), может быть представлен в виде
р , о, +
(2.5) [A7j](oT, со0, со+) --= ? К (ю) h («Г, coq |_j «о. <<>+ |_| со+ [_| <о+),
П (Оу
где со = |__|cov означает разбиение со — прямое объединение непересекающих-
ся cov. Здесь К (ю) — есть функция от таблицы to = ((Ov)v=o,’ + t из четырех подмножеств ? Q со значениями в линейных непрерывных операторах
'(
(2.6) К (о>) =--= I® (ш+, g) к® (и', g) j® (op, g) к*® (со0, g), к* (g) =
= к (**)*,
где Z®(co) = П 1(х),к®(а)~ 0 к (х), к*® (со) — 0 к* (х), j® (со) = 0 j (х).
(i) 3C?(i) X?(i)
оо
Теорема 2. Пусть К = 0 К(л) — разложимый оператор (2.5), оп-
ределяемый в псевдофоковском пространстве ZF линейной комбинацией ядер вида (2.6). Тогда оператор е (К) = ЕКЕ^, определяемый псевдопроекцией Е:
& -*¦ 5,
(2.7) (Eh) (со) = (со-, со, 0) dco~, Л ЕЕ
