Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
?
С | dx квадратично-интегрируемых функций к: х *-*¦ к (х) €Е •%‘х, /с (х, g) == = 0, Vx: g (х) = и со значениями к (х, 6д) = /сх (b), Ух ЕЕ А в предгильбертовых пространствах Жх; к*кх = (кх \ кх), к*к = [ || к (х) \ fxdx °о,
II к ||х = к*кх, не зависящими от А при х (= А, которое удовлетворяет вместе с сопряженным отображением k*: g *-*¦ <g = к (g*)* в функционалы k* (g) =
C+-I
— ^ <g (x)dx ЕЕ Ж* условию
(1.5) к (f)*k (h) = </**>_ </?> - <А> = </*Л>, У/, h е= Л,
го
3) невырожденное if-представление /: g ^ G — ^ j (х, g)dx, j (х, f if h) =
— j (x, /)*/ (x, A), / (x, g) = Ix, Ух: g (x) = u if-полукольца Ж в *-алгебре
©
разложимых операторов G: к ЕЕ Ж к-*- (х, g) /с (х) dx, / (х, 6Д) = jx (b),
Ух Е: А, удовлетворяющих условию коциклов
(1-6) j (g*)h> = g ? Л> — g*>, </*/ (g) = <f if g —
- <g, V/, g, h Jt
и наделяющих Ж структурой полигильбертова пространства относительно сходимости по всем полунормам
(1.7) || к ||' = (J || / (х, f)*k (х)|? dx)1/2, / €= М.
(iv) Почти для каждого х X существует псевдоевклидово пространство
% (х), невырожденное if-представление р (х, b if b) —¦ g (х, b)b р (х, Ь) в ал-
гебре операторов fl3 (») = {В: g —> g | Ч С S}, г<?<> Ь: В В^ - эрмитово сопряжение (В^а, с) = (а, Вс), Уа, с ЕЕ # (х) и вектор е (х) ЕЕ % (х) такие, что функция
(1.8) (6) = (е (х), р (х, 6)е (х))
является интегрируемой для каждого b ЕЕ 33 на А С I: ца < ос ц j ^ (b)dx =
= In фД (Ь). Точнее, каждое % (х) может быть выбрано в виде $. (х) =
— С 0 й’п М © С пространства троек с = (с_, с0, с+) = с, GE Cj
с0 ЕЕ & о (х) с псевдоскалярным произведением
(1.9) (с., с) = c-ct + с0с* + с+с! == CyCV-, cV- = с%, определяемым скалярным произведением с^с* — (г0, с0) в предгильбертовом
56
В. П. БЕЛАВКИН
пространстве '?0 (х), представление р (х) — треугольным
Ч Ро (х,Ь) Р;(*,&)'
р(х, Ь) —
= р: (*> ь),
о р0(г,^) Р+(-с. Ь)
L0 0 1 _
ч р>)* р;(б)*'
о Ро t*)* Ро(*)*
LO О 1 .
р (Ь)(с_, с0, с+) = (с_, с_ро (Ь) + с0ро (Ь), с_ р~ (Ь) + с0р\ (Ь) + с+) а вектор е (х) — в виде е = (1, е0, е+), где е0 (х) 6Е $0 (я), II
Р(Ь*)
= p:(fc)b-
- с р (6), *0 (*)1Й =
= 2 Re е+ (х). Здесь = Bl* — сопряжениеВ* = — относительно ин-
дефинитной формы (1.9) треугольных операторов В = [Z?vl в #v = 0. ц v, определяемое инверсией — ( —, 0, +) = (+, 0, —) упорядоченного множества {—< 0 < + } индексов |i, v = -, 0, +.
Доказател ьство. Сначала установим простые следствия (iv)=^ (iii) =Ф (ii) =» (i), а затем докажем импликацию (i) =» (iv), построив аналогично конструкции ГНС конкретное псевдоевклидово представление логарифмической производной производящего функционала фд безгранично делимого состояния над 33 по h\.
(iv) =» (iii). Обозначим Жх = g* (х) пополнение предгильбертова пространства «столбцов» к = к* (= (х), определяемых для кп ее $п (х) как
функционалы к: b0 6Е $0 (х) Ь0к = (Ь0, ?0), последовательностями Коши {к*}, К 6= 20 (x)' относительно полинормы || /с }|5 = ||р0(х, a)A:J ||, aeS, ©
Ж Q | Л',, dx — пространство — пополнение линейной оболочки {е’ —
— Р? (g)ev | g е Л) по всем полунормам || A: ||r = (jj || р0 (х, / (х))к (х) l^dx)1''2,
/ ЕЕ -М. Для любого g ^ Л обозначим G = ^ j (х, g)dx линейный разложимый оператор в Ж, определяемый поточечно как j (х, g) = р0 (х, g (х)*): (Gk)(x) = ро (х, g (х*)) к(х) = G (х)к (х), к (х) е <?* (х).
Такое определение корректно, поскольку для почти всех хее X и всех /, ЛЕЕ
е Л ро (/ ? h) - р^ (Л)ро (/*) = ро (Л)Ро (/*), где p!vl (/)(х) = р“ (х, / (х)), и любая фундаментальная относительно всех полунорм || • ||' последователь-ность функций {Л,,}, кп (х) ЕЕ (х) отображается оператором р0 (g*) в такую же последовательность {к* (g)}, кп (х, g) = к,п (х)р0 (х, g (х)) <?0 (х):
I с (g) - (g) wh=н Р; (Л) ро (g*) (С - о п=и ki
¦k*Af*h
га
0.
Это дает разложимое невырожденное представление Gk = j G (х)к (x)dx ^-полукольца Л, в полигильбертовом пространстве
е ~ / = Р; (е), f + F*H, F = p°o (/*), Я = Ро (Л*).
Это представление является замкнутым в смысле полноты Ж относительно одновременной сходимости по всем полунормам || к ||* = (| F* к ||, fE=Jt, эквивалентной сходимости по гильбертовой норме || к || лишь в случае сущест-
ХАОТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
57
венной ограниченности операторной функции G (х) = j (х, g) для каждого gG М. Обозначим g> для g ее ^ вектор-функцию g > = (p# (g*)—l)e°-f-
4 Р* (?*)е+ = — е° + Рц (#*) et* = е\ со значениями к (х, g) е 8* (х),
сопряженными строке <g* (л:) = е^ (х) pj,1 (х, g (х)) е & (х). Эта функция
является квадратично-интегрируемой, поскольку
</*А> - $ (^цРо (/) — е0) (*) (pS (A*) ev — e°) (x) dx =
- S <11 e° (*) IU® + ^ (г)(рХ (/) pt (A*) — p'-1 (/) Pv (A*) - p? (/) P: (A*)) (x) e* (x) —
— *V И (pv (/) ev — p- (/) e~ — p'+l (/) e+) (л:) — (epp'vl (A*) — e..p^ (A*) —
— e+Pt- (A*)) (x) ev (x)} dx =, ^ [e>1 (x) p“ (x, A iff) ev (x) — ец (x) p!J (x, A*) ev (x) —
— en (x) Pv (z, /) ev,.(x)] dx
для любых /, A e где eц (x)p!? (x, g)ev (x) = / (x, g*), j" I (x, g*) dx < oo,
и использовано условие e(l (x) (x) = 0. Построенное отображение g (ЕЕ M >-+
