Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
3. Сосуществование всех трех видов может происходить в стационарном или в
автоколебательном режиме в отсутствие каких-либо специальных
дестабилизирующих факторов.
Выше мы упоминали о том, что для общего динамического поведения системы
может быть существенно, является ли точка В2 в плоскости Hi = О
устойчивым узлом или фокусом. Для большинства параметрических областей
это различие не сказывается качественно на характере поведения системы.
Однако оно оказывается принципиальным при значениях параметров, лежащих в
окрестности границы параметрических областей 26 и 27. Рассмотрим ситуацию
подробнее.
Основные результаты относительно характера динамического поведения
системы дифференциальных уравнений третьего порядка при значениях
параметров, близких к тем, при которых на фазовом портрете системы
существует замкнутая траектория типа петли седлоузла или седлофокуса,
принадлежат Б.П. Шильникову [92-95]. Суть их состоит в следующем. В
зависимости от того, является ли особая точка седлоузлом или седлофо-
141
кусом, во-первых, и от знака седловой величины, во-вторых, возможны три
варианта динамического поведения в окрестности петли, два из которых
аналогичны соответствующему поведению систем второго порядка, а третий
является качественно новым:
1. а> 1. Из петли сепаратрисы при движении по параметру вне зависимости
от того, является ли особая точка седлоузлом или седлофокусом, рождается
одно периодическое движение - устойчивый предельный цикл. Соответственно
при движении по параметру в противоположном направлении устойчивый
предельный цикл разрушается на петле сепаратрисы;
2. ст< 1, особая точка - седлоузел. Из петли сепаратрисы рождается только
одно периодическое движение и притом седлового типа;
3. ст< 1, особая точка - седлофокус. Это наиболее сложный случай, когда в
любой малой окрестности петли сепаратрисы существует бесконечное
(счетное) множество замкнутых траекторий, не исчерпывающее, однако, всего
множества траекторий, лежащих в окрестности петли сепаратрисы.
Бифуркационные явления, происходящие в этой области, могут быть весьма
сложными и в общем случае до конца не изучены. К некоторым из них мы
вернемся при описании результатов численного исследования.
Параметрическая структура окрестности точек, отвечающих бифуркациям
коразмерности два и соответствующих пересечению параметрической линии
петли сепаратрисы небифуркационной линией узел-фокус при ст< 1 и переходу
а через единичное значение при движении по линии петли сепаратрис,
исследована в работе [30].
Изложенные результаты Шильникова легко переносятся на систему (5.3.8), с
той лишь разницей, что вместо петли сепаратрисы фигурирует сепаратрисный
контур А2В2СА2, а седловая величина определяется выражением
X(A2)X(C)maxReX12(B2)
д(А2)д(С)д(В2) ' ( ' }
где X - отрицательные, ад - положительные собственные значения системы в
соответствующих точках по направлению движения по сепаратрисному контуру.
Рассмотрим бифуркационные явления, происходящие в окрестности
сеператрисного контура на конкретном численном примере. В совместной
работе автора с Е.А. и Ю.М. Апониными [8, 9] исследовалась следующая
система хищник-две жертвы:
"! = д, (а, - ц, - 6и2 - 4и),
м2 = д2(а2 - и2 - Ui - Юи),
v = - и(1 - 0,25 и, - 4u2 - и). (5.3.15)
В этой системе в отличие от системы (5.3.8) дополнительно учтен фактор
внутривидовой конкуренции в популяции хищника. Вид параметрического
портрета при этом меняется незначительно: единственное отличие состоит в
том, что бифуркационные прямые Bt Л> и B2D в координатах {<*], а2 )
перестают быть параллельными и, кроме того, линия N нейтральности
равновесия D пересекает бифуркационные прямые А!С и AjBi, так что
параметрический портрет принимает вид, изображенный на рис. 5.3.15.
Значения коэффициентов в системе (5.3.15) выбраны так, чтобы располо-142
я2с ^
Рис. 5.3.15. Схематическое изображение окрестности параметрической линии
сепа-ратрисного контура на плоскости {а,, а,} для системы (5.3.15).
Нумерация областей соответствует рис. 5.3.10-5.3.14
жение бифуркационных прямых в координатах {"1, ог2} качественно совпадало
с изображенным на рис. 5.3.12, г и 5.3.14. Координаты точек, отвечающих в
системе (5.3.15) бифуркациям коразмерности два, имеют вид
А,В2С: а, = 4, а2 = 4;
А2В2С: а, =1,5, а2=0,25.
Рассмотрим, как выглядят на плоскости параметров { а,, а2) условия
Шильникова. Линия К узел-фокус для точки А2 представляет собой
горизонтальную прямую а2 " 0,265, пересекающую линию сепаратрисного
контура в точке /(а, " 1,509). Линия а= 1 [см. выражение (5.3.14)]
пересекает линию сепаратрисного контура в точках Si (ai "3,67, а2 "
3,65)и V 2(fti " 1,60, а2 "1,27). Таким образом, линия сепаратрисного
контура разбивается на три различных участка, так что при пересечении
линии по мере движения по параметру на каждом из этих участков
качественно различны происходящие при этом перестройки фазового портрета.
Рассмотрим бифуркационные явления, происходящие в системе по мере
