Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1У-
@
01
Рис. 5.3.9. Фазовые портреты системы (5.3.8) при е, ег < 1. Портреты 2, 6
и 9 отвечают параметрическим областям без индекса, все остальные -
областям с индексом 1.
чие этого случая от ранее рассмотренного состоит в том, что если при et
е2 > 1 равновесие С является в плоскости i> = 0 устойчивым узлом, то при
> 1 точка С - седло (см. рис. 5.3.10), и сосуществование жертв в
отсутствие хищника невозможно.
Бифуркационные прямые, отвечающие бифуркациям слияния равновесий,
задаются теми же уравнениями (5.3.10-5.3.12), что и в предыдущем случае.
Все возможные варианты их взаимного расположения представлены на рис.
5.3.11 и 5.3.12, а соответствующие фазовые портреты - на рис. 5.3.13.
137
а.
ff
г
Я, и,
'г
Рис. 5.3.10. Взаимное расположение на плоскости параметров (а,, а2}
бифуркационных линий А,С и АгС при 6 ,е 2 > 1 (а) и отвечающие ему
фазовые портреты иа плоскости v =0 (б, в). Номер 18 означает, что
продолжается нумерация фазовых портретов системы (3.5.8), начатая при
исследовании случая е 2е 2 < 1.
Существенно, что во всех случаях, кроме рдного,параметрические портреты
исчерпываются совокупностью бифуркационных линий, отвечающих бифуркациям
слияния равновесий. Единственным исключением (и наиболее интересным
случаем) является портрет, представленный на рис. 5.3.12 г, для которого
выполняются следующие неравенства:
Ситуация остается той же, если все три неравенства имеют обратный знак,
поскольку это соответствут смене индексов у параметров. Графически
выполнение неравенств (5.3.13) означает, что наклон пары бифуркационных
прямых В] D и B2D больше наклона прямой CD.
В этом случае (рис. 5.3.14) точки А,В] С и А2В2С параметрического
портрета соединяются прямой, отвечающей бифуркации слияния равновесий С
иБ на фазовом портрете, и по меньшей мере еще двумя бифуркационными
линиями, а именно линией N нейтральности равновесия D и линией значений
параметров, при которых на фазовом портрете траектория, выходящая из
точки В2 внутрь первого октанта, совпадает с траекторией, входящей из
первого октанта в точку С. Эту параметрическую линию назовем ''линией L
сепаратрисного контура".
Заметим, что параметрические точки AjB^h А2В2С являются точками,
отвечающими слиянию на фазовом портрете трех равновесий, т.е. точками,
отвечающими значениям параметров, при которых в нуль обращаются два
собственных значения системы (при наличии, кроме того, дополнительного
вырождения, обусловленного конкретным видом системы). Таким образом,
вхождение в эти точки параметрических линий нейтральности равновесия и
сепаратрисного контура - случай общего положения. При значениях
параметров, отличных от удовлетворяющих условию (5.3.13), эти линии
отвечают бифуркациям, происходящим вне положительного октанта фазового
пространства системы, и на предыдущих рисунках не изображены.
5 2 51 е2,
51 <52е2.
(5.3.13)
138
Рис. 5.3.11. Параметрические портреты системы (5.3.8) при e,f , > 1, е ,
> 6 а/б 3, 6 г > "1 /"а ив) е2 > PjPi > 1/е ,.б) 0а/0, < 1/е ,
Рис. 5.3.12. Параметрические портреты системы (5.3.8) при е,е2 < 1, е, <
ба/б,, е2 >8 ,/в, и:
6 , - б 2 €2
а) е, > (3г//3, > 1/е,, б) /32//3, < 1/е,, в)----------------->
/5а//5, > ег, г) (3a/0i >
8, - 8,е,
8, - 8 3 е2
>--------. . Структура заштрихованной области изображена иа рис.
5.3.14
6, - 6, е,
г
WJ
Рис. 5.3.13. Фазовые портреты системы (5.3.8) при е ,е , > 1. Нумерация
соответствует нумерации областей на параметрических портретах рис. 5.3.11
и 5.3.12. Портреты 18, 20 и 22 отвечают параметрическим областям без
индекса, все остальные - областям с индексом 1
Интерпретируем экологически полученные результаты. Напомним, что
рассматривается ситуация (6,62 > 1), когда в отсутсвие хищника
сосуществование двух конкурирующих популяций жертвы невозможно. При
введении в сообщество хищника могут реализовываться следующие
возможности:
1. Глобально притягивающие режимы:
а) одна популяция жертвы без хищника;
б) одна популяция жертвы с хищником;
в) стационарное сосуществование всех трех популяций.
2. Триггерные режимы:
а) в отсутствие хищника либо одна, либо другая популяция жертвы;
б) либо одна популяция жертвы сосуществует с хищником, либо вторая
существует без хищника;
в) с хищником сосуществует либо одна, либо другая популяция жертвы;
г) устойчивое стационарное сосуществование всех трех популяций либо
существование одной из популяций жертвы в отсутствие хищника и
конкурента;
д) то же, но сосуществование всех трех видов возможно лишь в
автоколебательном режиме.
Наиболее интересными представляются следущие результаты исследования из
числа перечисленных выше:
140
Рис. 5.3.14. Структура параметрической области, заштрихованной на рис.
5.3.12, г
1. Введение в сообщество хищника может обеспечить устойчивое
сосуществование конкурирующих видов жертвы, невозможное в отсутствие
хищника.
2. Режим сосуществования всех трех популяций может быть либо глобально
устойчивым, либо иметь в фазовом пространстве границу области притяжения.
