Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
возникновение автоколебаний. Более тонкие критерии приближения к опасной
параметрической границе могут быть различны в зависимости от значения
биотического потенциала первого вида а2. При больших и малых значениях
биотического потенциала критерием приближения к опасной границе является
возникновение характерной релаксационности и, возможно, усложнение формы
колебаний. При промежуточных значениях биотического потенциала at
критерием приближения к опасной границе является серия последовательных
удвоений периода автоколебаний и возникновение' режима
квазистохастаческих колебаний.
147
5.4. НИЖНЯЯ КРИТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ ПОПУЛЯЦИИ ПРОДУЦЕНТА В СИСТЕМЕ ТРЕХ
ТРОФИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ
Рассмотрим, к каким новым динамическим эффектам приводит в модели
сообщества продуцент-консумент-хищник учет существования нижней
критической плотности популяции продуцента. Такая постановка приводит к
системе [15].
х = ах(х - L)(K - х) - Ьхху,
у = -сху + dxxy - b2yz,
z = -c2z + d2yz. (5-4.1)
aK d2K
Замена x = Ku, у =- v, z = w, t = т/aK переводит систему (5.4.1) в
b i b2
и - u(u - I) (1 - u) - uv,
v = -4iv{mi - и + w),
w = -y2w(m2 -u), (5.4.2)
где yi = dt/a, y2 = d2/b2, mi = cx/diK, m2 = c2b\jad2K, I = L/K.
Координаты особых точек находятся из соответствующих алгебраических
уравнений:
0(м = и = w = 0); Ai(u = I, v = w = 0); А2(н = 1, v = w = 0);
B[w = m, v = (mi -/)(1- mi\ vv = 0];
D,E
uD Е=й[1 + I ± \/(l -If -4m2],
Vd, E = mz> _____________
wd,e = Ml1 + I - 2mx ±V(\ -02 -4m2], (5.4.3)
где знак "+" соответствует координатам точки D, а знак " - точке Е.
Построение параметрического портрета начнем с исследования устойчивости и
бифуркаций равновесий на координатных плоскостях фазового портрета.
Фазовые портреты на координатных плоскостях и = 0 и и = 0 инвариантны
относительно значений всех параметров (рис. 5.4.1).
На плоскости и = 0 начало координат является глобально притягивающим. На
координатной плоскости и = 0 существует сепаратриса и = I, разделяющая
области притяжения начала координат и точки (и = 1, w = 0). Поведение
системы на координатной плоскости w = 0 подробно исследовано в разд.
3.5.5. Параметрический портрет (/, тх} и полный набор фазовых портретов
приведен на рис. 3.5.8 и 3.5.9.
Перейдем к исследованию нетривиальных равновесий D и Е. Определим границы
параметрических областей, для которых в первом октанте фазового
пространства присутствуют два нетривиальных равновесия D и Е или одно из
них или нетривиальные равновесия отсутствуют. Эти границы задаются
параметрическими уравнениями, отвечающими бифуркациям слияния равновесий
D и Е друг с другом, а также слияний каждого из 148
Рис. 5.4.1. Фазовые портреты системы (5.4.2) на координатных плоскостях и
= О и и = О
них с равновесием В:
DE : 4т 2 = (1 - О2,
BD : т2 = (т, - /) (1 - mt), т, > й(1 +/).
BE : т2 = (ш! -/) О - "ii), "*2 < й(1 +0- (5.4.4)
Исследование устойчивости точек D и Е показывает, что в первом октанте
фазового пространства при любых значениях параметров точка D устойчива
(X? < 0, Re\P(i < 0), а точка Е неустойчива (Xf > 0, ReXp 3
>0). Это,
в частности, означает, что при 4т 2 = (1 - О2 происходит бифуркация,
имеющая условную коразмерность один, но истинную коразмерность два,
поскольку при этом в силу конкретного вида системы в нуль обращаются
одновременно действительное собственное значение и действительная часть
пары комплексных собственных значений. Соответственно при пересечении в
пространстве параметров этого бифуркационного многообразия в фазовом
пространстве одновременно с рождением пары точек D и Е рождается малый
гиперболический предельный цикл.
Однозначное представление о взаимном расположении в трехпараметрическом
пространстве {ть т2, 1} бифуркационных поверхностей (5.4.4) дает при
любом значении 1 > / > 0 двумерный {ть т2}-срез. Бифуркациям,
происходящим на координатной плоскости фазового пространства w = 0,
отвечают вертикальные бифуркационные прямые в координатах {mlt т2} (рис.
5.4.2). Участок бифуркационной прямой 4m2 = (1 - /)2 нанесен на
параметрическом портрете лишь левее точки тг = (1 +/)/2 как
соответствующий бифуркации слияния равновесий D и Е, происходящей в
положительном октанте фазового пространства.
Описанными выше бифуркациями (5.4.4) параметрический портрет не
исчерпывается. В системе возможна еще одна, нелокальная бифуркация, а
именно слияние устойчивого плоского цикла Св, лежащего в координатной
плоскости w= 0, с гиперболическим циклом СЕ. На параметрическом портрете
(см. рис. 5.4.2) этой бифуркации соответствует граница параметрических
областей 9 и 12. Цикл СЕ в результате этой бифуркации уходит из
положительного октанта, а цикл Св становится гиперболическим, т.е.
остается устойчивым в координатной плоскости w = 0, но становится
отталкивающим в поперечном направлении внутрь октанта. Бифуркация слияния
циклов нелокальна, и соответствующая бифуркационная кривая не имеет
аналитического выражения. Из общих соображений ясно, что она соединяет
