Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
точки (mj = I, т2 = 0) и [mi = тсп, т2 = У*( 1 - t)2]. Для значений / =
0, 1 эта кривая была прослежена численно на ЭВМ Е.А. Апо-
149
ниной [16] с помощью программы CIRCLE [88]. Полный набор фазовых
портретов системы также изображен на рис. 5.4.2.
Перейдем к интерпретации полученных параметрического и фазовых портретов.
При значениях параметров, лежащих в областях 1-5, в фазовом пространстве
координатная плоскость w = 0 является притягивающей. Другими словами, в
этом случае хищник всегда вымирает, и поведение системы (5.4.2) не
отличается от поведения системы 5.3.12. Хищник столь плохо приспособлен к
популяции консумента [тг < (1 -/)2/4], что последняя ни при каких
обстоятельствах не в состоянии ''прокормить" хищника, и он всегда обречен
на вымирание.
В отсутствие хищника популяции продуцента и консумента сосуществуют в
стационарном (область 11) или автоколебательном (12) режиме. Ситуация
неустойчива в отношении интродукции хищника. При появлении в сообществе
хищника он размножается, и сообщество выходит на стационарное состояние
D, соответствующее устойчивому сосуществованию всех трех популяций.
Заметим, что при значениях параметров, лежащих в области 12, появление
хищника стабилизирует колебания, происходящие в сообществе продуцент-
консумент в отсутствие хищника. Отметим также, что при значениях
параметров, лежащих в области 11, равновесная плотность популяции
консумента в отсутствие хищника больше, чем при сосуществовании всех трех
популяций (ив > uD), а продуцента, напротив, меньше, что вполне
соответствует интуитивным представлениям.
Кроме того, при значениях параметров, лежащих в областях 11 и 12, как и
при любых других значениях параметров, устойчивым является начало
координат фазового портрета. Области притяжения равновесий О и D
разделяются сепаратрисной поверхностью седлоузла А,.
При значениях параметров в областях 7, 8 и 10, так же как и в 11 к 12, в
фазовом пространстве существуют два притягивающих объекта: начало
координат (вымирание Всех трех популяций) и точка D (их устойчивое
сосуществование). Различие состоит лишь в характере сепаратрисной
поверхности, разделяющей области притяжения этих равновесий: область
притяжения D ограничена чашеобразной поверхностью, либо целиком лежащей
внутри первого октанта фазового пространства (параметрические области 7 и
8), либо касающейся координатной плоскости w = О в точке В (область 10)
(см. рис- 5.4.2).
Наиболее разнообразно поведение системы при значениях параметров в
областях 6 и 9. При этом на фазовом портрете присутствуют одновременно
три притягивающих объекта: начало координат, равновесие D и устойчивый
предельный цикл Св в координатной плоскости w = 0. Область притяжения
начала координат ограничена сепаратрисной поверхностью седлоузла Ai.
Области притяжения точки D и предельного цикла Св разделяются
чашеобразной поверхностью, либо лежащей целиком внутри первого октанта
(область 6), либо касающейся координатной поверхности w = 0 в точке В
(область 9).
Рис. 5.4.2. Параметрический портрет и полный набор фазовых портретов
системы (5.4.2):
1-12 -- области параметрического пространства; тсп - значения параметра
тх, при котором в плоскости w = 0 сепаратриса, выходящая из седла А2,
входит в седло А,. Пунктиром схематически обозначена граница области
притяжения равновесия D. АСА
Итак, полностью описаны все возможные фазовые портреты, реализующиеся при
различных значениях параметров. Перечислим теперь притягивающие режимы,
порознь или одновременно реализующиеся в системе при фиксированных
значениях параметров.
1. Тривиальное равновение 0 - начало координат фазового портрета.
Соответствует вымиранию всех трех популяций. Устойчиво при всех значениях
параметров.
2. Равновесие А2 - отвечает изолированному существованию популяции
продуцента в отсутствие консумента и соответственно хищника. Устойчиво
при значениях параметров, лежащих в области 1.
3. Равновесие В - отвечает стационарному сосуществованию популяций
продуцента и консумента в отсутствие хищника. Устойчиво при параметрах в
области 2.
4. Предельный цикл Св - отвечает сосуществованию популяций продуцента и
консумента в автоколебательном режиме. Устойчив при параметрах в областях
6 и 9.
5. Равновесие D - отвечает стационарному сосуществованию всех трех
популяций. Устойчиво при значениях параметров в областях 6-12.
Рассмотрим подробнее характер области притяжения равновесия D при
значениях параметров, лежащих в различных областях и соответственно
характер возмущений, выводящих систему за пределы области притяжения
равновесия D.
Как уже отмечалось выше, характер области притяжения точки D качественно
различен при значениях параметров, лежащих в областях 11-12, с одной
стороны, и в областях 6, 10 - с другой. В первом случае при и> I и сколь
угодно малых начальных значениях v и w система всегда приходит в
состояние D. Во втором случае, напротив, любое достаточно сильное
возмущение системы, находящейся в состоянии D, в сторону уменьшения v и
