Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 59

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 83 >> Следующая

плоскостей при а< 1 и (3 < 1 соответственно и при этом в координатных
плоскостях всегда являются устойчивыми узлами или фокусами.
Таким образом, поведение системы (5.3.4) не зависит от параметров
у2
и у2 • Параметрический портрет на плоскости параметров { а,
/3} и соответ-
ствующие фазовые портреты изображены на рис. 5.3.2. Фазовые портреты для
областей 1 и 2 совпадают с таковыми для системы (5.3.4), изображенными на
рис. 5.3.1. При a = (3< 1 на фазовом портрете имеется прямая
неизолированных особых точек.
На рис. 5.3.2 видно, что в системе в случае общего положения
существует
одно глобально устойчивое равновесие. В зависимости от значений
пара-
126
метров оно отвечает либо вымиранию оЬоих хищников, когда емкость ниши
продуцента не обеспечивает стационарной численности популяции продуцента,
достаточной для существования хотя бы одного из хищников, либо вытеснению
одким из хищников другого, менее эффективно использующего ресурс жертвы.
Система два хищника-жертва с учетом конкуренции в популяции жертвы и
насыщения хищников исследовалась в работах [134, 126, 128, 163]. Было
показано, что при некоторых значениях параметров насыщение хищников может
приводить к возможности их сосуществования при потреблении одного вида
жертв, но лишь в колебательном режиме.
5.3.3. Ячейка трофической сети
Рассмотрим динамику элементарной ячейки трофической сети, введя в
рассмотрение фактор внутривидовой конкуренции в популяции продуцента.
Сообщество трех популящий при этом описывается следующей системой
дифференциальных уравнений:
х = ах - bxxy - b3xz - ex2,
У = ~С\У + dyxy - b2yz,
z = -c2z + d2yz + ddxz, (5.3.5)
которая заменой (5.2.7 *) приводится к й- д( 1 - и - (Зи> - ей), v =¦ -
7iU(l - и + w),
w = - y2w(a - v - 5м), (5.3.6)
где 6 = ecijad^, а остальные параметры также выражаются через исходные,
как и в случае системы (5.2.8).
Система имеет пять особых точек:
О (и = v = w = 0); В(и = 1/е, у = w = 0);
га 1 / са У
А! (и = 1, и= 1-6, w = 0); A2k/=- , v = 0,w=-(l ) .
L 5 /3 4 5 J '
1- /3 - а a(fi + e) - 8(fi+l) 1- а+ 5- e
v=---------------------- , w =
Д-5+е (3-5+ e (3-5 +e
Полное представление о структуре { а, (3,5, е) -параметрического портрета
системы дают его ( а, 5}-срезы при произвольных значениях (3. Срезы (а, 5
} полного портрета выглядят по-разному в зависимости от знака неравенства
е ф 1.
Рассмотрим сначала { а, 5} -параметрический портрет при малых значениях
е<4 1 (рис. 5.3.3, а). На портрете, так же как и на портрете системы
(5.2.8), описывающей динамику ячейки трофической сети в отсутствие
конкуренции продуцентов, имеются бифуркационные линии, отвечающие
бифуркациям слияния равновесия А3 с равновесиями Ai и А2. Их уравнения
задаются условиями я13:5=а + е-1; д23:5=а(0 + е)/((3+1).
127
Рис. 5.3.3 Срез {а, 6) параметрического портрета системы (5.3.6) при е <
1 (а) и е > 1 (б)
Кроме того, появляется еще одна линия, отвечающая бифуркации слияния
равновесий А2 и В, уравнение которой задается условием а2Ь: 8=еа. Линиями
бифуркаций, отвечающих слияниям равновесий, параметрический портрет
системы не исчерпывается. На нем присутствует линия N (''нейтральности")
, при пересечении которой в пространстве параметров равновесие Аз теряет
устойчивость с рождением малого устойчивого предельного цикла. Уравнение
линии нейтральности довольно громоздко, однако из соображений
непрерывности очевидно, что при е-*0 она ''влипает" в угол, образованный
бифуркационными линиямиа13 ид23. Численный расчет линии нейтральности,
проведенный Е.А. Апониной при е = 0,01 и е = = 0,1 { подтвердил
правильность схематического изображения параметрического портрета,
представленного на рис. 5.3.3, д.
При е > 1 параметрический портрет системы имеет вид, изображенный на рис.
5.33,6. Напомним, что при этом нанесены лишь линии, отвечающие
бифуркациям, происходящим в положительном октанте фазового пространства.
Полный набор фазовых портретов системы для соответствующих
параметрических областей изображен на рис. 5.3.4.
Таким образом, система (5.3.6) имеет довольно сложную структуру
параметрического портрета и обнаруживает весьма богатый набор режимов
динамического поведения. В зависимости от значений параметров в фазовом
пространстве может быть либо один, либо два притягивающих объекта.
Единственным притягивающим объектом могут быть: точка В - при значениях
параметров в области 10; Аг - параметрические области 4 и 6; А2 - области
2 и 9; А3 - области 1 и 5 и трехмерный устойчивый предельный цикл -
параметрические области 7 и 8.
При значениях параметров, лежащих в области 3, ь системе реализуется
триггерный режим, и в зависимости от начальных условий устанавливается
состояние Ai или А2. Расположение сепаратрисной поверхности, разделяющей
области притяжения равновесий А2 и А2, специально не исследовалось, но
ясно, что она проходит через ось w и точку А3.
Интерпретируем полученные результаты экологически. Смысл ограничений,
определяющих границы параметрической области 10, и поведение системы при
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed