Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
уменьшения а2 при различных фиксированных значениях <*1.
1. 4>а2 . Седловая величина а> 1, ситуация соответствует
перво-
му из описанных выше случаев. По мере уменьшения а2 при пересечении
параметрической точкой линии N нейтральности равновесия D на фазовом
портрете вокруг равновесия D рождается малый, устойчивый предельный
143
Рис. 5.3.16. Схематическое изображение характера предельного цикла в
системе (5.3.15) при значениях параметров, лежащих в окрестности линии
сепаратрисного контура
цикл. При дальнейшем уменьшении а2 предельный цикл растет, на нем
появляются участки, проходящие вблизи равновесий В2, А2 и С, причем часть
предельного цикла, проходящая вблизи седлофокуса А2, начинает
скручиваться в спираль (точнее, в некоторую винтовую линию - рис.
5.3.16). Наконец, при дальнейшем уменьшении а2 предельный цикл ''влипает"
в сепаратрисный контур (рис. 5.3.17) при значении а2, соответствующем
пересечению параметрической точкой пиний L сепаратрисного 144
0сьХ1
0 .2 .4 .0 0 /.0 7.2 74
77сьХ1
Рис. 5.3.18. Проекции трехмерной притягивающей траектории на координатную
плоскость {и,, и} фазового пространства для системы (5.3.15) при а,
=2,4на,:в) 1,7537, б) 1,7533, в) 1,7532, г) 1,7531 (результаты численного
эксперимента). Символы XI и ХЗ соответствуют величинам и, и и[9]
контура, и разрушается. Чтобы не загромождать фазовый портрет, на нем не
изображена структура нетривиального равновесия D. Равновесие Aj
становится глобально устойчивым.
2. aSj ><*! > ptSj. Бифуркационные явления, происходящие с предельным
циклом при уменьшении а2 в этом интервале значений О], могут быть весьма
сложными. Рассмотрим одну из последовательностей бифуркаций,
наблюдавшуюся в численном эксперименте при at = 2,4 (рис. 5.3.18). По
мере уменьшения параметра в границах областей 26, 27 наблюдается 1/2 10.
Зак. 75 145
0С&Х1
0 -2 .4 .0 .0 10 /.2 /.0
0ct>X1
серия последовательных удвоений периода цикла. В некотором диапазоне
значений а2 из результатов численного эксперимента создается впечатление,
что траектории системы полностью заполняют некоторый фазовый объем. Можно
сказать, что при этих значениях параметров поведение системы неотличимо
от случайного, т.е. по принятой ныне терминологии является
квазистохастическим. Притягивающий объект в фазовом пространстве при этом
может быть назван ''странным аттрактором". Впечатление от результатов
численного эксперимента совпадает с известными математическими
результатами о возможности существования в изучаемой системе при данных
значениях параметров притягивающего гиперболического множества.
146
При дальнейшем уменьшении а2 серия бифуркации удвоения периода цикла
отслеживается в обратной последовательности. Процесс завершается
бифуркацией слияния ''последнего" устойчивого предельного цикла с
седловым циклом (аннигиляция пары циклов). Равновесие А2 становится
глобально устойчивым.
3.afj ><*1 >1,5. В этом случае последовательность событий по мере
движения по параметру а2 аналогична рассмотренной выше для случая 4 >?*!
>aSj с одним небольшим уточнением. Точка В2 является фокусом при а2 >аг и
узлом при а2 < аг. Горизонтальная прямая а2 = а, "0,265 пересекает линию
сепаратрисного контура в точке 1(а\" 1,509). Соответственно при otSt >
о?! >а[ последовательность бифуркационных событий в точности аналогична
таковой при 4 > > aSi, а при а( > а > 1,5 отличает-
ся лишь тем, что предельный цикл, прежде чем разрушиться на сепаратрис-
ном контуре, сохраняет довольно простую форму, а не претерпевает
спирального закручивания в окрестности точки В2.
Дадим экологическую интерпретацию рассмотренным бифуркационным
последовательностям. Выше указывалось, что один из наиболее интересных
режимов системы хищник-две жертвы отвечает ситуации, когда присутствие
хищника обеспечивает сосуществование двух конкурирующих популяций жертвы,
невозможное без него (параметрическая область и фазовый портрет 25).
Рассмотрим возможные пути эволюции режима сосуществования трех видов по
мере уменьшения а2. Заметим, что уменьшение а2 можно трактовать как
возникновение и нарастание нагрузки на сообщество, проявляющейся в форме
промысла второго вида жертвы. Исход при этом всегда (т.е. при любых
значениях о^) одинаков: увеличение нагрузки сверх некоторой критической
приводит к разрушению сообщества, а именно к вымиранию промышляемого вида
жертвы, а при низком биотическом потенциале первого вида жертвы (о^ <4) -
к вымиранию также и хищника. В последнем случае одновременное вымирание
промышляемого вида жертвы и хищника происходит не в процессе постепенного
уменьшения до нуля их численностей по мере роста нагрузки, а резко,
скачком, в результате пересечения опасной параметрической границы. Однако
природа этой опасной границы и соответственно критерии приближения к ней
могут быть различны. Впрочем, для исследованной системы первый ''намек"
на приближение к опасной границе носит универсальный характер: это мягкое
