Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что пары кубитов в максимально перепутанных состояниях распределяются между двумя пользователями - Алисой и Бобом - посредством зашумленного канала связи. Из-за наличия шума, присутствующего по всему каналу, распределенные пары, взаимодействующие с окружением, перепутываются с ним, теряют чистоту их собственного перепутывания и становятся смешанными состояниями. Воздействуя на принимаемые пары, Алиса и Боб хотят повысить их чистоту. Предположим, что между Алисой и Бобом распределено большое количество пар и канал влияет на все пары одинаковым образом. Будем описывать состояния пар в представлении Белла:
Усиление квантовой секретности 335
|ф*> = ^(100>±111)) • <8.19)
|4") = j|(N±H) ¦ (8.20)
где {|0>, |1)} являются базисом для каждой частицы, принадлежащей парам. Предположим также, что каждая пара изначально была приготовлена в состоянии |Ф+) и обозначим как {а, Ь, с, d} диагональные элементы оператора плотности р «зашумленных» пар, которые Алиса и Боб получают в базисе (|Ф+), |Т-), |'Р+), |Ф~)} • Первый диагональный элемент а = (Ф+|р|Ф+), который мы назовем «качеством», представляет собой вероятность того, что пара после проверки окажется в состоянии |Ф+). Задача QPA состоит в увеличении качества до значения
1 (что подразумевает равенство нулю остальных трех диагональных элементов). Заметим, что необязательно уточнять вид всей матрицы
плотности зашумленных пар, поскольку в алгоритме QPA недиаго-
нальные элементы не дают вклад при усреднении (т.е. при усреднении по ансамблю распределенных пар на каждом шаге процедуры) в эволюции диагональных элементов и, поэтому, не являются существенными для анализа эффективности схемы.
В процедуре QPA Алиса и Боб разделяют принимаемые зашумленные пары на группы, состоящие из двух пар, и выполняют над каждой группой следующие операции. Алиса выполняет унитарную операцию
f 1 -Л
(8.21)
ил=4=
' V2
V
-/ 1 х
над каждым из двух, имеющихся у нее кубитов; Боб выполняет об ратную операцию
U'~j2
'1 Л
i 1
(8.22)
Заметим, что если кубиты представляют собой частицы со спином 1/2 и вычислительный базис совпадает с собственными функциями z-компонент их спинов, то эти две операции соответствуют поворотам на ж/2 и -п/2 вокруг оси х.
После этого, Алиса и Боб производят две операции, требуемые при реализации квантового элемента CNOT, рассмотренного в разд. 1.6:
контроль мишень контроль мишень
Iх) Iу) -* Iх) Iх®Д') (х-^)е{°>1}, (8-23)
где одна пара заключает в себе два контрольных кубита, а другая пара - два кубита-мишени. Символ © означает сложение по модулю два (полезную таблицу, в которой приводятся все действия такой би-
336 Очищение перепутывания
латеральной операции CNOT в базисе состояний Белла, можно найти в работе' [49]). Затем, Алиса и Боб измеряют кубиты-мишени в вычислительном базисе (т.е. они измеряют г-компоненты спинов мишеней). Если в результате имеет место совпадение (т.е. оба спина направлены вверх или вниз), они сохраняют контрольную пару для следующего цикла измерений и удаляют пару-мишень. Если совпадения нет, то обе пары выводятся из цикла. Основные операции процедуры QPA последовательно показаны на рис.8.5.
АЛИСА БОБ
Рис.8.5. Схематичное представление одного шага QPA. Алиса выполняет операцию UA над своей частицей и операцию «контроллируемое НЕ». Боб выполняет операцию Us и операцию «контроллируемое НЕ». Затем, Алиса и Боб измеряют пару-мишень и сохраняют контрольную пару для следующей итерации, если их результаты совпадают.
Для получения результата действия такой процедуры, предположим, что каждая пара, изначально, находится в одном и том же состоянии с диагональными элементами {а, Ь, с, d}. В случае, когда контрольные кубиты оставляются, их оператор плотности будет содержать диагональные элементы {А, В, С, D}, которые при усреднении зависят только от диагональных элементов {а, Ь, с, d} :
„2 , ,2 Л Q +D
А =--------, (8.24)
Р
led
В = —, (8.25)
Р
С = ^, (8.26)
Р
D = — , (8.27)
Р
где р = (а +Ь)2 + (с + d)2- представляет вероятность того, что Алиса и Боб имеют совпадающие результаты при измерении пары-мишени. Уравнения (8.24-8.27) описывают элементарный шаг алгоритма QPA.
Усиление квантовой секретности 337
Процедура состоит в итерационном повторении элементарного шага с сохранением пар из предыдущей итерации. Заметим, что если усредненное значение «качества» близко к единице, то каждая оставленная пара должна удовлетворять требованию чистого состояния
|Ф+)<Ф+|.
Обращаем внимание на то обстоятельство, что если две входных пары описываются разными операторами плотности р и р' с диагональными элементами {а, Ъ, с, d} и {a\b\c',d'} , соответственно, то сохраняемые контрольные пары, в среднем, будут иметь диагональные элементы:
(8.28)
Р
c’d + cd’
В= , (8.29)
Р
С — се* + dd* ? (8 30)
Р
D = aV + (tb_ ; (8 31)
Р
гдер = (а + Ь)(а'+ Ь') + (с +d)(c' +d'). Эти соотношения обобщают (8.24-8.27).
Можно легко проверить несколько интересных свойств процедуры QPA (8.24-8.27). Например, если на любой стадии качество а превосходит 1/2, то после следующей итерации оно также будет превосходить 1/2. Хотя качество а не обязательно монотонно возрастает как функция числа итераций, наша конечная точка А - I, В = С = D = О, является фиксированной точкой процедуры и является единственной фиксированной точкой для области а > 1/2. Легко можно убедиться аналитически, что это именно локальный аттрактор, т.е. что А > а если а близко к 1.
