Физика квантовой информации - Бауместер Д.
ISBN 5-94057-017-8
Скачать (прямая ссылка):
Используя разложение Шмидта, всегда можно представить в виде:
N
(8.9)
332 Очищение перепутывания
где {а) и {/?} - ортогональные базисы гильбертовых пространств двух перепутанных квантовых систем. Поскольку состояние ^предполагается перепутанным, имеется по крайней мере 2 ненулевых с:, отсюда мы можем положить, что 0 и с2& 0. Чтобы очистить у/.п, Алиса, система которой находится в состояниях а и Боб, система которого находится в состояниях /?, первым делом измеряют проекторы
Р +Р и Р„+Р„ , соответственно. Используя классические сообщения .“1 Pi- fij’ }
Алиса и Ьоо сохраняют только те пары, которые дают положительные исходы измерений. Эти пары находятся в следующих состояниях:
Отсюда, каждая подсистема включает в себя только два ортогональных состояния, подобно кубиту. Предположим, что |с,|2 > |с2|2, тогда Алиса и Боб применяют 2 фильтра FA и FB, которые подавляют а, и Д, пропуская неизменными ап и /?2. Такие фильтры представляются следующими положительными операторами:
Используя классический коммуникационный канал, Алиса и Боб выбирают только те пары систем, которые проходят через оба фильтра. (В действительности, достаточно, чтобы только Алиса или только Боб измеряли свой оператор и использовали фильтр). Заметим, что такие фильтры существуют на самом деле. Например, общеизвестны оптические элементы с потерями, зависящими от поляризации. Примеры из области экспериментальной квантовой оптики см. в [388]. Состояние отфильтрованных систем имеют одинаковые веса в конечных факторизуемых состояниях:
?г = Fa ®FbVx = НС1Л1 0 А +с1а1 0 А • (8 12)
П|
В итоге, Алисе и Бобу нужно фиксировать относительную фазу между ах ® Д и а2® /?2 для получения нужного синглетного состояния (с точностью до несущественной общей фазы):
В самом общем случае проблема очищения перепутывания оказывается гораздо сложнее (для более чем 2 перепутанных систем общее решение пока неизвестно). Однако, относительно простые фильтры, рассмотренные выше, можно использовать для очищения некоторых смешанных состояний. Это будет показано ниже. Основываясь на вышеизложенных результатах, рассмотрим следующую смесь 2-кубитовых состояний:
ц/х = схах 0 Д + с2а2 ® /?2 .
(8.Ю)
(8.13)
Локальная фильтрация 333
(8.14)
где Лис - два действительных числа, принимающих значения между
О и 1, и
До того, как показать, что состояние р(Л, с) может быть очищено, мы хотели бы доказать, что это состояние никогда не нарушает неравенство Белла-КХШ [12]8. Для этой цели мы воспользуемся красивым результатом, полученным семьей Городецки [389]. Применяя его к состоянию р(Л, с), можно сделать вывод о том, что
т.е. неравенство Белла-КХШ не нарушается. Отсюда, очевидно, что р(Л, с) является локальным, хотя ниже мы покажем, что р(Л, с) может быть очищено до синглетных состояний и, следовательно, что р(Л, с) в действительности нелокально.
На самом деле, процедура по очищению р(Л, с) очень похожа на пример, приведенный выше: Алиса и Боб применяют фильтры (8.11) с
Снова используя теорему Городецки [389], можно получить, что это состояние нарушает неравенство Белла-КХШ, если
Верхняя и нижняя границы Л, определенные условиями (8.16) и
(8.18) совместны если с Vl- с2 < V2 - 1. Отсюда, существуют значения Лис, такие что состояние р(Л, с) является «локальным», в том смысле, что не нарушается неравенство Белла-КХШ, и такое, что соответствующее состояние, отфильтрованное локальным окружением - р{а1гге]Л, с) ~ нарушает некоторое неравенство типа Белла-КХШ.
^ = c|l0)-Vl-c2|0l) , у/и = 111) , У'ооН00) .
(8.15)
1
1 <
1
(8.16)
где для нормировки введен фактор N = 2Лс~^ 1- с2 + (1- Л).
Л>
1
(8.18)
8 т.е. неравенство Белла-Клаузера-Хольта-Шимони (Прим.переводчика).
334 Очищение перепутывания
Выше мы ввели идентификацию - «локальное» w «не нарушает неравенство Белла-КХШ». В этом смысле, результаты, полученные выше, выглядят более впечатляюще! Но, очевидно, что такая идентификация может и должна быть подвергнута критике. Состояние, которое является полностью нелокальным, после некоторых локальных взаимодействий не может быть квалифицировано как локальное. Вопрос остается открытым - допускают ли состояния р(А, с), удовлетворяющие (8.16) и (8.18), описания с помощью локальной модели со скрытыми параметрами, порождающей все имеющиеся корреляции. Поскольку они не нарушают никаких неравенств Белла-КХШ, возможно, что такая модель существует. Однако, даже если такая модель со скрытыми параметрами и существует, состояние может быть названо нелокальным, т.к. возникновение всех корреляций не является достаточным, как показано на примере, приведенном выше.
8.4 Усиление квантовой секретности
С.Макчиавелло
Основная цель использования схем по очищению перепутывания состоит в выделении подмножества состояний с повышенной чистотой из большого множества нечистых перепутанных состояний. Первая схема такого типа была предложена в работе [49], где было показано, что она позволяет выполнить достоверную квантовую телепортацию квантовых состояний через зашумленный канал. Следующая, более эффективная схема очищения, рассматривалась в [47]. Она получила название «усиление квантовой секретности» (QPA), поскольку была разработана для криптографических целей. Было доказано, что такая схема приводит к более высокой надежности квантовой криптографии, использующей зашумленные каналы связи (основанную на той схеме перепутывания, которая рассматривалась в гл.2). В данном разделе мы опишем принципы работы QPA-схемы.
