Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
некоторого объекта, называется собственным временем этого объекта.
Связать малый промежуток собственного времени dr с координатным временем
dt в системе, относительно которой объект движется. Показать, что
собственное время является инвариантом преобразования Лоренца.
Решение. Пусть объект покоится в системе S'. В этой системе dt'=dr, dx' =
dy' = dz' = 0. В системе S величины dx, dy, dz - расстояния, проходимые
объектом за время dt. Из инвариантности интервала (3.5) находим
ds2 = с2 dr2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = c2( 1 - v2/с2) dt2,
откуда
dr = = \/1 - v2/с2 dt = inv . (3.11)
Здесь через v(t) обозначена скорость инерциальной системы, мгновенно
сопутствующей рассматриваемому объекту и, следовательно, совпадающей со
скоростью самого объекта. В таком виде формула для интервала собственного
времени годится и для неравномерно движущихся объектов. ¦
Пример 3.5. Твердый стержень имеет в своей собственной системе длину Iq.
Какую длину стержня измерит наблюдатель, относительно которого стержень
движется со скоростью V? Каков объем некоторого тела, измеренный
наблюдателем, если в системе покоя этого тела объем имеет величину
Решение. Длина зависит от взаимной ориентации стержня и вектора
относительной скорости v. Если стержень и скорость ориентированы вдоль
оси х, то в системе покоя стержня расстояние между его концами х'в - х'А
= /о- Наблюдатель в системе S для измерения длины стержня должен сделать
зарубки на оси х против концов стержня одновременно по часам в своей
системе отсчета: хв - %а = L tв - tа = 0. С помощью
220
Глава 3
преобразований Лоренца (3.9) получим лоренцевское сокращение движущегося
масштаба:
I = loy/l-v2/c2. (3.12)
Если стержень ориентирован поперек скорости, то I = /о, так как согласно
(3.9) поперечные масштабы не изменяются. Объем У движущегося тела
уменьшается только за счет сокращения продольного размера:
У = %у/1 -v2/c2. (3.13)
Пример 3.6. Как преобразуется четырехмерный объем Aft = cAt"V при
переходе в другую инерциалъную систему?
Решение. С помощью (3.13) и (3.11) находим
AQ = cAt"V = сАт% = inv. (3.14)
Четырехмерный объем является инвариантом преобразования Лоренца. ¦
Пример 3.7. Скорость частицы в системе S' имеет значение v' = = dr'/dtr.
Выразить ее скорость v = dr/dt в системе S через v' и относительную
скорость систем V. Может ли скорость v по абсолютной величине превысить
скорость света с?
Решение. Записываем формулы (3.7) для дифференциалов,
dx= dx' + Vdt' = МК + у) d d, dz = dz, y/l - V2/c2 y/1 -V2/c2
dt' + V dx'/c2 dt'( 1 + v'V/c2)
dt= - х/z
\/l - V2 jc2 л/l - V2jc2
и делим три первые равенства почленно на четвертое. Получаем правило
сложения релятивистских скоростей:
r/x + V vyi-V2/c2 v'^1 -V2/c2 _
Vx ~ i I т/ Г / 2 ' Vy ~ -1 I Т/ r / 2 ' Vz - , | Т/ r / 2
' (3-15)
l + VVx/c 1 + Vv'x/cz 1 + Vv'x/cz
При V <C c, \vx\ <C с эти формулы переходят в нерелятивистский закон
сложения скоростей (3.2)
Vx=v'x + V, Vy = Vy, vz = v'z,
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
221
а при v' -> с обеспечивают предельный характер скорости света. Записывая
для последнего случая v'x = с cos $, v'y2 + v'z2 = с2 sin2 $ и вычисляя
из (3.15) v2, находим v2 = с2, т. е. добавление к скорости v' скорости
относительного движения V по релятивистскому закону не изменяет
абсолютной величины vr = с. ¦
Псевдоевклидова геометрия. Познакомимся теперь более подробно с
геометрией четырехмерного пространства-времени Минковского. Отдельные
точки в четырехмерном пространстве-времени указывают пространственные
координаты и время некоторого "события". По следовательно сть-
кинематических состояний любого тела (т. е. его координаты в разные
моменты времени) изображается мировой линией.
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают
не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе тела.
Так, мировой линией тела, покоящегося в (пространственной) точке xq оси
х, будет прямая АВ, параллельная оси ct и проходящая через хо (рис. 3.4);
мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью v = const (и
проходящего через начало координат при t = 0) - прямая CD (tga = v/c);
мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью v(t) - кривая MN;
мировая линия светового луча, испущенного в момент t = 0 из начала
координат в направлении оси х - биссектриса координатного угла OF.
Мы уже нашли выражения (3.4), (3.6) для интервала - величины, выполняющей
роль инвариантного расстояния между точками четырехмерного пространства.
Из этих выражений следует, что геометрия про- Рис. 3.4
странства Минковского неевклидова, в нем
несправедлива, в частности, теорема Пифагора. Такая геометрия называется
псевдоевклидовой. В отличие от геометрии Евклида трехмерного пространства
обращение в нуль интервала, si2 = 0, не означает совпадения точек 1 и 2.
В зависимости от соотношения между c2(t\-t2)2 и (г\ - Г2)2 интервалы
могут быть действительными и мнимыми. Интервалы, для которых s22 > 0,
