Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на расстояниях,
меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полем бесконечного
прямого провода. В частности, внутри провода:
2/г Я1 = ^Т са
(см. задачу 2.71). Это позволяет найти "внутреннюю" энергию W\\
2.4. Ответы и решения
201
Для определения "внешней энергии" W2 построим вспомогательную поверхность
S, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника,
и введем скалярный потенциал ф. Скалярный потенциал будет испытывать на S
скачок
(4)
*+
Интеграл, через который выражается W2, можно преобразовать следующим
образом:
J (Н ¦ Н) dV = - J HgY&di/jdV =- J di у(фН) dV = - j> фНп dS
(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div Н = 0). В последнем
интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам
вспомогательной поверхности S' и по поверхности проводника S' (см. рис.
2.23, на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью).
Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие
конечных размеров проводника с током. Таким образом,
(5) W-2 = -±J r{,HndS+± J ф+HndS-^ J ф-HndS.
S' s s
Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условия (2)
магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем прямолинейного провода
и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Для
преобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4) и
условие непрерывности компоненты Нп. Получим
(6)
^2 = |- HndS.
Рис. 2.23
На больших расстояниях от провода (г > г о) магнитное поле не зависит от
распределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, что ток
течет по оси. На малых расстояниях (а ^ г < го) это поле совпадает с
магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно считать, что
ток течет по оси. Таким образом, интеграл в формуле (6) представляет
собою поток магнитной индукции, создаваемой током, текущим по оси
проводника, через поверхность, которая опирается на замкнутый контур,
202
Глава 2
лежащий на поверхности проводника. Используя выражение потока через
коэффициент взаимной индукции, получим
(7)
и--а.
С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом
самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу для
коэффициента самоиндукции:
(8)
I = f+?'.
2.113. Используя результат предыдущей задачи, получим
Ь' = ^ъ(\пЩ-2).
Полная самоиндукция
'(1
2.114. L12 = 21- 2л/а2 + I2 + 2а In
а + у/а? + Р I
2.115. Используя результат задачи 2.114, получим
а + л/а2 + I2
I - 2 s]a2 + 12 + л/2 а2 + I2 + а In :
г
- а In
, + У2а2 + г2
V^TT2 '
F =
г2 + 212 W2a2 + 12
1л/ а2 + I2 cl + /
- 1
2.116. L = 26
4 In ¦
a(l + л/2)
+ 4^-7
2.117. 'у' = -j-E х Н + V х К, где - любой вектор, зависящий
47Г
от напряженностей электромагнитного поля.
2.4. Ответы и решения
203
2.118. р = в(а - г); j = pQ, х г, где 0 - ступенчатая функ-
Атта
ция (1.212).
2.119. р = e ?(а - г); j = рГ2 х г.
4тга
2.120.
rotBa; =
rot HLJ = -ifELJ + ^fjLJ,
div Ей = Airpuj, div H(jj = 0.
Euj = -Vcfcj + Щ-Aijj,
H(jj = V x
В интегралах (2.112) изменение знака частоты эквивалентно изменению знака
мнимой единицы г. Поэтому = Е^. Такое соотношение между гармониками Фурье
справедливо для любой действительной функции.
2.121. Ги = -^ЩЕи х Н^].
4тг2
2.122.
ik х Е\^ = -
ik х Нь = \Ёъ + ik • .Ek = 47rpk,
/с • //к = 0.
2.124. Фурье-образ потенциала точечного заряда был найден в задаче
1.137:
№ = Еь = ~ikipk.
Другой способ решения задачи - использование интеграла Фурье ср(г) = = /
^кехр(г/с • r)d3k. Применив оператор Лапласа под интегралом, найдем
А(р(г) = f(-k2(fk) exp(ik • r)d3k, откуда (A<^)k = - &2(^k- С другой
204
Глава 2
стороны, выполнив преобразование Фурье обеих частей уравнения Пуассона
Аср(г) = -47ге6(г), будем иметь (Д^)к = -47ге. В итоге получаем уже
приведенный выше ответ.
2.125.
к х Еки = - Н\tijj,
к х Нки) = -^Еки> -ik • Екщ = 47rpiC(X;,
к • iikcj = 0.
2.126. Разложение на гармонические составляющие:
АЛ \ Ш2 л - 4тг .
ДА<^ Н-- A(jj - --,
со2
Асрсо + = -4тг pcj,
с
divAw - = 0.
Разложение на плоские волны:
Ак + к2с2Аи = 47rcjk,
+ fc2C2V5k = 47ГС2рк, zc/c • Ак фк = 0.
Разложение на плоские монохроматические волны:
(i 2 Ш2\ л - 47Г •
I ^ _ - - JkCJ?
'Рш = 47грш, fe • AkUj - ^-ifkiu = 0.
2.127. В переменных ?, г] одномерное волновое уравнение принимает вид
д2Е/д^дг] = 0, откуда следует приведенное решение. Оно описывает
2.4. Ответы и решения
205
две плоские волны произвольной формы, распространяющиеся в
противоположных направлениях оси Ох со скоростью с. Решение, описывающее
распространение плоских волн в направлении п, имеет вид
E(r, t) = EiF(n • г - ct) + Е2Ф(п - г + ct).
2.128. 7 = cwn, w = (i?2 + H2)/Stt = E2/4тг. Энергия переносится в
пространстве со скоростью с.
2.130. tg2a = 2Е01 ¦ Е02/(Е$г + Е%2).
Для определения направлений вращения запишем (2.126) в проекциях на оси
координат, выбрав постоянно используемую правую систему координат с осью
