Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Ох вдоль Si и осью Oz в направлении распространения волны к. Аргумент
тригонометрических функций запишем так, чтобы он увеличивался с ростом t.
Будем иметь
Ех = Si cos(uot - к • г - а),
Еу = ±<?2 sin (ut - к - г - а),
где Si ^ 0 и <§2 ^ 0, знак плюс во второй формуле отвечает правой тройке
векторов S1, S2, к, а знак минус - левой тройке. При знаке плюс волна
имеет правую спиральность, т. е. направление вращения вектора Е и
направление распространения образуют правый винт. При знаке минус
спиральность левая (винт с левой нарезкой). По историческим причинам в
оптике принята противоположная терминология: вращение вектора Е в
направлении правого винта называют левым, а противоположное вращение -
правым.
2.131. По методике предыдущей задачи, записываем
E0 = Ei+E2 = аех + Ъегхеу = (Si + iS2)eia
и находим
51 = a cosaex + b cos(x - &)еу,
52 = -a sin аех + b sin(x - a)eyi
Ъ2 sin 2х
tg 2а = ---------------, -7г < а < 7г.
а +Ъ cos 2%
(последнее равенство получено из условия Si • S2 = 0). Спиральность
результирующей волны определяется знаком произведения S2-ey>, где еу> = =
nxSi/Si - третий орт, составляющий правую тройку с ех> = Si/Si ип.
Используя полученные выражения, находим S2 • еу> = ab sin x/<?i. Согласно
206
Глава 2
результатам предыдущей задачи, при аЪ > 0 и sinx > 0, 0 < х < тг,
спиральность правая, при sinx < 0, -7г < х < 0 - левая. При х - 0 и при х
= поляризации линейные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
2.132. При х = 0 поляризация линейная, плоскость поляризации проходит
через биссектрису угла между осями Ох, Оу. При х = тг поляризация
тоже линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла
между Ох и -Оу. При х = 7г/2 поляризация круговая с правой спирально-стью
(рис. 2.24 а).
При х = - ^ поляризация круговая с левой спиральностью (рис. 2.24 б).
В остальных случаях она эллиптическая, причем при 0 < х < ^ спиральность
правая, при - 7г < х < 0 - левая.
2.133. eW=e(2)* = ^^.
V2
2.134. § = '/2Е<>е'. Поляризация линейная, орт е' составляет угол а с
осью Ох (рис. 2.25).
2.135. Jafз = + I^e^ef*,
где JW, 7(2) - главные значения эрмитова тензора (действительные
величины), а е^1), е^2) - его собственные векторы, в общем случае
комплексные и описывающие эллиптическую поляризацию. Они удовлетворяют
условиям • е^'^* = (W, = 6ар (сумма по повторяющемуся
индексу).
Введенные в примере 2.21 величины выражаются через 1^ ^ 1^:
2.4. Ответы и решения
207
2.136. Введем прямоугольные оси х' || а и уг || Ъ. В этих осях
комплексная амплитуда поля будет иметь вид
Eq = аех/ ± ibey!,
где знак "+" отвечает правой эллиптической поляризации, а знак "-" -
левой. Интенсивность I = а2 Ь2. Фаза выбрана равной нулю для ж'-ком-
поненты поля. Выражая теперь орты ех>, еу> через еХ1 еу, получим для
компонент Iik'.
hi = о2 cos2 tf + Ъ2 sin2 tf,
/22 = a2 sin2 tf + b2 cos2 tf,
/12 = (a2 - b2) sin tf cos tf =p 2iab = .
Верхний знак отвечает правой эллиптической поляризации, нижний - левой.
При b = 0 поляризация линейна и тензор имеет вид
_ т ( cos2 tf sin tf cos tf г/е ysin tf cos tf sin2 tf
При a = b = д/7/2 поляризация круговая и
г -if 1
J-ik - ~
2 1
2.137. Амплитуда суммарной волны
Е = Ei + Е2 = ?(е(1) + е(2)ега),
где о; - сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, ,Е|2 = J. Компоненты тен-
зора поляризации по определению (см.(2.127)) равны
Iik = ЕгЕ* = 7(е(1) + е(2)е*") .(е^ + e^e~ia)f
При усреднении по времени получим е±га = 0, поэтому тензор поляризации
будет иметь вид
1 + cos2 tf sin tf cos tf
^гк ^ ysin tf cos tf 1 - cos2 tf У ' Отсюда, используя результат примера
2.21, получим
Р = | cos tf |.
208
Глава 2
Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор 7^. Его главные
значения I\ = 1 + |cos$|, /2 = 1 - |cos$|. Отсюда опять Р =
-
- I2)/{J-i + h) = | cos'i?!. Базисные векторы е\ = ^cos^, sin ^
и е\ =
= sin cos ^. Они вещественны в рассматриваемом случае.
Результирующая волна состоит из неполяризованной части с интенсивностью
1(1 - | cos??|) и линейно поляризованной вдоль направления е\ = ( •& • •&
= [cos-, sm-
^ части с интенсивностью I| cos 1:
2 $ Ф
COS - sin - COS -
(1гк) = 7(1 - IcostflX^fc) + 7|cost9| I " 2" 21?
'sin ^ cos ^ sin ^
Результирующая волна полностью поляризована (но не монохроматична) при д
= 0. При д = 7г/2 - полная деполяризация.
2.138. Тензор поляризации
Т - (h + V2 /2М
lik - I /2/2 /2/2У
(ось ./'1 совпадает с направлением поляризации первой волны).
Степень поляризации
р= 2V/jf^TTf
h + h + лДТПf
Результирующая волна состоит из неполяризованной волны с интенсивностью
(ii + /г)(1 - -Р)/2 и линейно поляризованной волны. Направление линейной
поляризации составляет угол
212^ЦТЦ
v = arctg -
ад + 12) + (3/1 + 2J2)v/7fT7f с направлением поляризации первой волны.
2.139. р = | при ? = 0 волна не поляризована, при ? = 1 - полностью
поляризована.
2.4. Ответы и решения
209
Положим ^ = ?rji, где г\\ + г\\ + г\\ = 1. Тогда
1=1
Первый член в этом выражении соответствует полностью неполяризованно-му
