Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
называются времениподобными, а те, для которых s22 < 0 -
пространственноподобными, причем эти свойства имеют место во всех ИСО в
силу инвариантности интервала. Интервалы, равные нулю, называются
нулевыми (светоподобными).
222
Глава 3
Характер интервала тесно связан с причинностью - он определяет
возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно-
временных точках 1 и 2. Если s\2 > 0, то событие 2 может быть причинно
связано с событием 1 (и наоборот): из точки 1 можно послать сигнал
СО скоростью V = Г12)(^2 ~ ^l) < С, который вызовет событие 2. Это
возможно и в случае нулевого интервала, но только сигнал должен
распространяться с предельной скоростью с. События, разделенные
пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены,
так как сигналы не могут распространяться со скоростью V = Г12/(^2 -tl) >
с.
Пример 3.8. Пусть координаты х, ct отложены на прямоугольных декартовых
осях в некоторой плоскости. Указать на этой плоскости области 1, 2, 3,
обладающие следующими свойствами.
Область 1 - абсолютно будущая; все события, изображаемые точками этой
области, в любой ИСО происходят после события, которому соответствует
начало координат.
Область 2 - абсолютно прошедшая; события этой области в лю-ой ИСО
предшествуют событию начала координат.
Область 3 - абсолютно удаленная; существуют ИСО, в которых события этой
области происходят раньше, позже или одновременно с событием (0, 0), но
не существует таких ИСО, в которых события этой области и (0, 0)
происходили бы в одной точке трехмерного пространства {для областей 1 и 2
такой вариант возможен).
Решение. Искомые области изображены на рис. 3.5. Они разделяются
биссектрисами координатных углов. В области 1 t > 0 и для всех возможных
ИСО tr > 0, так как оси ct' этих систем могут быть ориентированы только
между двумя линиями, которым соответствуют нулевые интервалы (т. е. между
линиями пересечения плоскости со световым конусом). Проведя ось ct' через
данную точку и начало координат, найдем по формуле V = ctga (см. пример
3.3) скорость ИСО, в которой два рассматриваемых события происходят в
одной точке трехмерного пространства. Аналогичным свойством обладает
область 2. В области 3 приведенная выше формула определяет ИСО, в которой
данное событие происходит одновременно с событием в начале координат.
¦
Рис. 3.5
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
223
В псевдоевклидовом пространстве следует вводить два сорта координат -
контравариантные и ковариантные, и два типа тензорных значков, как уже
делалось в разделе 1.1 при рассмотрении аффинных преобразований в
трехмерном пространстве. Квадрат интервала (3.4) между близкими точками
можно записать в тензорных обозначениях:
ds2 = gik dxl dxk, (3.16)
где
dx° = cdt, dx1 = dx, dx2 = dy, dx3 = dz (3.17)
дифференциалы контравариантных четырехмерных координат,
1 О О 0-1 0 0 0-1
ООО
- метрический тензор. Суммирование здесь и в дальнейшем нужно
производить по четырем значениям г, к = 0, 1, 2, 3 совпадающих латинских
индексов.
Контравариантный метрический тензор, как и в трехмерном пространстве (см.
формулу 1.35в), должен определяться из соотношений
9гк9Ы =gl = S[, (3.19)
где д\ - четырехмерный символ Кронекера. Легко видеть из (3.18), что
контравариантные компоненты дгк совпадают с соответствующими ковари-
антными, т. е. дгк = д^.
Всякие четыре величины А0, А1, А2, А3, которые определены во всех ИСО и
преобразуются при переходе из одной системы в другую как координаты и
время, т. е. по правилу
А0 = 7(А,0+/ЗАп), А1 = 7(А'Ч/М'°), А2 = А'2, А3 = А'3, (3.20)
образуют контравариантные компоненты четырехмерного вектора (4-вектора)
Аг, г = 0, 1, 2, 3. Трехмерный вектор А = (А1, А2, А3) называют
пространственной, а величину А0 - временной составляющими 4-вектора Аг.
Ковариантные составляющие этого вектора Ai определяются по правилу
опускания индекса (1.35):
(3.18)
Л = дгкАк = (Л°, -А).
(3.21)
224
Глава 3
Скалярное произведение двух 4-векторов и квадрат 4-вектора представляют
собой инварианты преобразований Лоренца. Они определяются как
естественное обобщение формул (1.267):
АгВi = AlBi = дгкАгВк = inv, AiAi = тА*Ак = inv. (3.22)
Произвольный 4-вектор, как и интервал, может быть нулевым, или изотропным
(AiAг = 0), времениподобным (AiAг > 0) и пространственноподобным (AiA1 <
0). Примерами четырехмерных векторов, кроме 4-ра-диус-вектора в
пространстве Минковского, могут служить 4-скорость иг частицы и ее 4-
ускорение wl:
и* = <?-=( --g-------------¦ --g--------------------------------У = =
(3.23)
dT \^Jl-v2/c2 sjl-v2/c2 У dT dT2
где v = dr/dt - трехмерная скорость частицы, dr - дифференциал
собственного времени. Очевидно, что иг является 4-вектором, так как dx1 j
dr представляет собой отношение 4-вектора dx1 к скаляру (инварианту) dr.
По аналогичной причине wl - также 4-вектор.
Фаза плоской монохроматической волны, рассматривавшаяся в разделе 2.3, ср
= k-r-cot, представляет собой релятивистский инвариант (скаляр). Это
