Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
относительной скорости двух ИСО, но не от его направления. Из равноправия
систем следует также ds'2 = kds2, или ds2 = к2 ds2, т. е. к = ±1. Но
значение к = - 1 не может обеспечить равноправия трех ИСО: при ds2 = -
ds'2 и ds'2 = -ds"2 будем иметь ds2 = -ds'2 = ds"2, что выделяет систему
S'. Поэтому единственная возможность состоит в выборе к = +1, что
приводит к инвариантности малого интервала при преобразовании его в любую
инерциальную систему отсчета. Интегрирование позволяет распространить это
свойство на конечные интервалы между произвольными событиями 1 и 2: 512 =
s'12, т. е.
S12 = [c2(ti - t2)2 - (xi - Х2)2 - (2/1 - У2)2 - (zi - ^г)2]1/2 = inv.
(3.6)
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
217
Пример 3.2. Проанализировать мысленный эксперимент с эйнштейновским
"поездом": пусть наблюдатель А находится посредине длинного "поезда",
движущегося с релятивистской3 скоростью, а наблюдатель В стоит на земле
близ полотна железной дороги. Приборы, находящиеся в голове и в хвосте
поезда на одинаковых расстояниях от А, испускают две короткие световые
вспышки. Эти вспышки достигают обоих наблюдателей одновременно - в тот
момент, когда они поравняются друг с другом. Как ответят наблюдатели на
вопрос о том, какая вспышка произошла раньше?
Решение. Ответ наблюдателя А: сигналы были испущены из точек, удаленных
от меня на равные расстояния, и пришли одновременно. Следовательно, они
были испущены одновременно.
Ответ наблюдателя В: сигналы пришли ко мне одновременно, но в моменты
испускания (предшествующие приходу) голова поезда была ко мне ближе, чем
хвост. Следовательно, сигнал от хвоста прошел больший путь и был испущен
раньше, чем сигнал от головы. ¦
Преобразования Лоренца. Последний пример показывает, что с учетом
конечной скорости распространения сигналов, время и понятие
одновременности теряют свой абсолютный характер: промежуток времени At
между двумя событиями для наблюдателя на земле отличается от промежутка
At' между теми же событиями для наблюдателя в поезде. Время течет по
разному в разных инерциальных системах отсчета, что не согласуется с
преобразованиями Галилея (3.1). Их обобщение, учитывающее наличие
предельной скорости с, было найдено4 Г. Лоренцем в 1904 г.:
x' + Vt' , , ^ t' + Vx'/c2
х = - -, у = у z = Z , t = - -. (3.7)
у/1 -V2/c2 y/l-V2/c2
Это преобразование (которое иногда называют английским словом буст)
отвечает случаю, когда соответствующие оси координатных систем S и S'
параллельны между собой, относительная скорость V направлена вдоль оси Ох
(рис. 3.1) и начала координатных систем совпадают при t = t' = 0. Более
общие преобразования такого типа будут даны в разделе 4.1.
В этой и последующих главах мы будем часто использовать обозначения
- = ^Т=7Г <3'8)
Зт. е. со скоростью, сравнимой по величине с предельной скоростью с.
4Вывод преобразований Лоренца см. в решении задачи 3.1 и в разделе 4.1.
218
Глава 3
Преобразования, обратные (3.7), получаются изменением знака относительной
скорости и в обозначениях (3.8) имеют вид
ж'= 7(x-/3ct), у'= у, z' = z, t' = j(t - fix/с). (3.9)
Преобразования Лоренца удовлетворяют принципу соответствия - при V <С с,
7 " 1 они переходят в преобразования Галилея (3.1).
Пример 3.3. Пусть пространственно-временные координаты х, ct системы
отсчета S откладываются на взаимно перпендикулярных декартовых осях.
Построить на этом же чертеже координатные оси х', ct'. Указать положение
осей х, ct, если на прямоугольных осях отложены х', ct'.
Решение. Временной осью системы S' является прямая х' = 0. В системе осей
ct, х согласно (3.9) эта прямая задается уравнением ct = х//3 и
составляет угол а = arctg(V/c) с осью ct (рис. 3.2). Ось х' в S' задается
уравнением ct' = 0, которое в S принимает вид ct = fix и представляет
собой прямую, составляющую тот же угол а с осью х. Новые координатные оси
стали косоугольными! (аффинное преобразование, меняющее угол между осями
- см. раздел 1.1). Если откладывать ct', х' на прямоугольных осях, то
косоугольными станут оси ct, х, отклонившись на угол а в другие стороны
(рис. 3.3). ¦
Рис. 3.2 Рис. 3.3
С помощью рисунка (3.2) нетрудно проиллюстрировать и относительность
одновременности. События А и В проецируются на временную ось ct в одну
точку АВ и, следовательно, они одновременны в системе S. Но их проекции
на временную ось ct' системы S' различны, следовательно, в системе S' эти
события неодновременны, причем событие В происходит
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
219
раньше. Однако, если мы попытаемся определить время между событиями At' =
А'В'/с из рисунка 3.2 с помощью обычных тригонометрических соотношений,
мы потерпим неудачу и не получим правильного результата, который следует
из преобразований Лоренца (3.9):
At' = г)(3с~1(хв - ха)- (3.10)
Для его получения нужно учесть не только поворот осей, но и изменение
масштаба при переходе в другую систему.
Пример 3.4. Время, отсчитываемое по часам, неподвижным относительно
