Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
ячейки является поверхностью с высокой степенью симметрии и потому очень
хорошо аппроксимирующуюся сферой того же объема V = где Ко - радиус
сферы. Каждая сфера содержит один узел решетки и является примитивной
элементарной ячейкой. В центре такой ячейки расположен ионный остов,
размеры которого обычно малы в сравнении с радиусом сферы. Так, для
натрия Rq = 1.85 А, а радиус иона R" = 0.95 А. Потенциал иона
распространяется не на всю ячейку и обычно охватывает лишь часть ее
объема. В таких условиях можно считать, что ионный потенциал заключен
внутри каждой сферы и обладает сферической симметрией. Важно еще раз
подчеркнуть это обстоятельство, отметив, что если электрон попал в
область какой-нибудь сферы, то на него будет действовать потенциал,
создаваемый ионом и другими валентными электронами, находящимися только в
этой сфере.
Обычно рассматриваемый метод используют для определения волновой функции
и собственного значения энергии на дне зоны проводимости, т. е. для
состояний электронов с к = 0. Такое ограничение связано с наиболее просто
реализуемыми граничными условиями на поверхности ячейки. Рассмотрим
волновую функцию ipkn(f")- Она, согласно теореме Блоха,
8.1. Методы расчета энергетической зонной структуры
95
должна удовлетворять граничным условиям периодичности:
4>ы(г + R) = e%k'R(pkn{r).
Для состояний с к = 0 имеем
ipkn(r + R) = (fikn(r)
(8.1)
здесь R - вектор трансляции, п - номер валентной зоны в общем числе зон.
Это значит, что волновая функция должна быть непрерывной функцией без
сингулярности и периодически переходить из одной ячейки в другую. Тогда
аналогичной непрерывностью обладает и первая производная от этой функции.
Непрерывность производной требует обращения ее в нуль на границе ячейки:
Поскольку, как было установлено, потенциал ионного остова внутри сферы
сферически симметричен, то выбрав его, согласно Вигнеру-Зейтцу, в форме
потенциала U(r) внутри свободного атома, нужно решить радиальное
уравнение Шредингера, присоединяя к решению граничное условие (8.2). В
результате решения мы получим волновую функцию и энергию электрона,
соответствующую дну зоны проводимости [е(0)]. Итак, наша задача состоит,
следуя Вигнеру-Зейтцу, в вычислении зависимости энергии электрона,
находящегося внутри сферы, от радиуса сферы Re,. Как уже было сказано,
потенциальная энергия этого электрона определяется только сферическим
потенциалом самого иона, а всеми возможными эффектами обмена и корреляции
можно пренебречь. Таким образом, необходимо интегрировать радиальное
уравнение Шредингера с радиальной функцией Ri.
и граничным условием (8.2). Здесь U(r) - сферически симметричный
потенциал иона. Поскольку волновая функция обладает периодичностью
решетки, повторяется при переходе из одной сферы в другую, то нам
необходимо иметь решение только для одной сферы. Зависимость полной
энергии кристалла от радиуса сферы Rq тогда можно найти, умножая
соответствующую одноэлектронную зависимость на число атомов в кристалле.
Отметим
д(ркп(г)
= 0.
(8.2)
дг
r=Ro
(8.3)
96 Лекция 8
еще, что при решении уравнения Шредингера мы не должны отбрасывать
решения, не стремящиеся к нулю при возрастании радиуса г, как это
делается для случая изолированного атома, поскольку нас будут
интересовать значения радиуса г вблизи поверхности сферы До.
Приведенный расчет относится к состояниям электронов с к = 0, т. е.
касается основного состояния в зоне проводимости. Вполне понятно, что
значительно сложнее рассчитать энергии состояний с к ф 0. Простейшим
приемом, позволяющим в рамках рассматриваемого метода, получить первое
приближение для энергии возбужденного состояния является допущение, что
волновую функцию можно выбрать в виде:
<Pk{r) = егк'г(р0(г). (8.4)
Эта запись напоминает запись функции Блоха, однако, здесь функция ifio{r)
считается не зависящей от волнового вектора к. Тем не менее, она является
лучшим, чем плоская волна, приближением к правильной волновой функции.
Подставим ее в уравнение Шредингера:
{-?V2 + У(г)} = екегк-гМг)-
Преобразуем:
- ъ^к ¦ V(A)(r) - + U(r)ip0(r) = ?k<Po(r),
ИЛИ
~im {v2<A)(r) + 2ik ¦ V(A)("} + U(r)<p0(r) + o(r).
(8.5)
Отсюда уже можно получить выражение для расчета энергии возбужденного
электронного состояния, считая, что функция (ро(т) нормирована к единице
в объеме сферы Вигнера-Зейтца. Используя обычный рецепт определения
энергии, находим
Ек = / ^y^o(r)^°(r)rf3r " [ ^о(г)У2ро(г)(13г-
2 Г Г ^8'6)
~bn2i / к ¦VMr)<Po(r)d3'r + J <Po{r)U(r)(fio{r)d3r,
8.1. Методы расчета энергетической зонной структуры
97
или
?к = ^2т ~ Ьп j ^o(r)VVo(r)d3r + j tp*0(r)U(r)tp0(r) d3r. (8.7)
Интегрирование здесь выполняется по всему объему сферы Вигнера-Зейтца.
Интеграл
J Lfio(r)V(р0(г) d3r = О
в силу симметрии распределения заряда в ячейке. Анализируя выражение для
энергии (8.7), видим, что первый член представляет собой энергию Ферми, а
второй и третий - энергию Вигнера-Зейтца. Перепишем выражение (8.7) в
