Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(6.18)
ipk{r) = exp (г к ¦ г)ик{г).
(6.19)
6.1. Энергетический спектр электрона
79
ратор (6.18):
Н =
= ?? 5kk'EkC+aCka = Y,EkC+aCka, (6.20)
kk' (7
k a
т. e.
(6.21)
Здесь мы использовали то обстоятельство, что функции Блоха (6.19)
образуют ортонормированную систему и каждая из них описывает состояние с
энергией Ек.
Таким образом, многочастичный оператор Блоха в представлении операторов
вторичного квантования по функциям Блоха имеет вид (6.21). Однако, иногда
удобно представить оператор Блоха (6.18), используя формализм вторичного
квантования по плоским волнам. Проделаем соответствующие выкладки без
пояснений:
UG = Un - фурье-образ периодического потенциала U(r).
G - вектор обратной решетки.
Итак, оператор Блоха (6.18) в представлении операторов вторичного кван-
Н =
г+ ф+ (г)и(г)ф(г) d3r
/
к к' <7
y>fcC+CW + ?? UaCk+G(rCkcу
к (7
kG а
здесь:
80
Лекция 6
тования по плоским волнам можно записать так:
Я = 5>С+ Cka + J2J2 UcCt+GaCka. (6.22)
ка к G а
Если сюда включить еще оператор (4.39), описывающий взаимодействие в
системе электронного газа, представленный также в необходимой форме, то
гамильтониан взаимодействующего электронного газа в периодическом поле
решетки имеет вид:
Н = ? екс+"ска + ? ? UGC++G^Cka +
ка к G а
+ Е Е Е ^ (Cfct -C^+G' °Ск'°Ск° ~п) ¦ (623)
к к' a a' G^O
Это полный гамильтониан системы, вторично проквантованный по плоским
волнам. Он очень удобен в работе и мы им будем неоднократно пользоваться.
А сейчас рассмотрим, как можно решить задачу о состояниях электронного
газа в периодическом поле решетки в формализме операторов вторичного
квантования. Мы будем пользоваться гамильтонианом (6.22), считая, что в
системе имеется один электрон и большой набор возможных электронных
состояний к. Такой прием вызван тем, что нам необходимо найти зависимость
одночастичной энергии от волнового вектора. Основное состояние системы
задается гамильтонианом ^ екС^аСк(7, возмущением служит
ка
периодический потенциал. Обозначим одночастичную волновую функцию
состояния г в компактном виде числа частиц в этом состоянии:
\... щ ...) .
Поскольку имеется возмущение, то истинная волновая функция Ф не будет
совпадать с одночастичной функцией, а должна быть выражена в форме
линейной комбинации этих функций
Ф = 53 аг I- • ¦ пг ¦¦¦) ¦ (6-24)
г
Запишем далее уравнение Шредингера с гамильтонианом (6.22), причем,
6.1. Энергетический спектр электрона 81
чтобы показать, что рассматривается одночастичная задача, придадим
индексу к значок "штрих" и опустим спиновый индекс <т
(j2^c+Gk, + ]Г UG,C++G,cA X V к' к'С )
...) = Е^аг\...пг ...).
Умножим левую и правую часть этого уравнения на сопряженную функцию (...
rij ... |:
?к> (¦ • ¦ rij . . - I C^,Ck' ¦ • ¦ щ . . .) +
г к'
+ "У ' Oii "У ' UG> (• ¦ • Tlj . ¦ . C'^i + G'Ck' ¦ • ¦ щ ¦ . -) = г к'
G' = Е (¦ • ¦ rij ... \... щ ...).
г
Используя свойство ортогональности одночастичных волновых функций и
раскрывая соответствующие матричные элементы, находим
^ ^ ] Oti ^ ^ JjQ/dj+Qt^ i = Е ^ ^ Ctidjii
i i G' i
или, преобразуя, можно записать так:
^ (Sj dji Edji ) + ^ ^ O-i ^ ^ иQ> 6j-\-Q> ? i 0,
i i G'
однако at6ji = aj, at5J+Gltl = aj+G>, тогда
aj(?j ~e) + Y1 UG,aj+G/ = 0.
G'
Здесь, как и ранее, индексы нумеруют электронные состояния. Пусть
состояние j определено как (к + G), где G - вектор обратной решетки:
ak + G(?k+G ~ Е) + UG'Ctk + G+G' = 0.
82 Лекция 6
Сумму обратных векторов можно обозначить одним вектором G+ G' = G", G' =
G" G.
Таким образом, последнее выражение можно переписать так:
&k+G(?k+G - Е) + ^ Uc-GCtk+G" = 0. (6.25)
G"
Это есть уже полученная нами ранее система уравнений (6.7) (в других
обозначениях) для определения коэффициентов а* в выражении волновой
функции возмущенной системы (6.24). Следовательно, тот же результат может
быть получен, используя метод операторов вторичного квантования.
Лекция 7
7.1. Приближение Кронига-Пенни
До сих пор мы не делали никаких предположений, касающихся значения
периодического потенциала системы ионов U(r). В действительности этот
потенциал не представляет собой монотонную функцию, а имеет резкие
перевалы вблизи каждого узла решетки. Это значит, что у него имеются
фурье-компоненты с очень малой длиной волны, это приводит к плохой
сходимости рядов, составленных из фурье-образов Uq. В связи с этим
приближение почти свободных электронов в чистом виде не может быть
реализовано и становится пригодным благодаря введению приема, связанного
с псевдопотенциалом. Тем не менее, все качественные выводы модели почти
свободных электронов носят абсолютно всеобщий характер и составляют
основу всех последующих приближений. Оставляя рассмотрение указанного
приема до следующего параграфа, сделаем сейчас некоторые предположения
относительно потенциала U(r). Грубым приближением к реальному
распределению его в одномерной решетке является предположение о наличии
обрезающего потенциала Щ, позволяющее записать потенциальную энергию
