Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
распространения поля через систему:
где с - скорость света, I - линейный размер системы, то можно пренебречь
конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений внутри
системы. Такое приближение называется квазистационарным1.
Ток в замкнутой цепи с э.д. с. S(t), емкостью С, индуктивностью L и
сопротивлением R удовлетворяет в квазистационарном приближении
дифференциальным уравнениям
где q - заряд на обкладке конденсатора.
При гармонической зависимости э.д.с. от времени (<?(?) = §ое~ш1) и
установившемся режиме ток пропорционален э.д.с.:
Величина Z называется комплексным сопротивлением (импедансом) цепи.
Собственная частота шо колебаний в контуре, состоящем из емкости С и
самоиндукции L, дается формулой Томсона
С I
(VII. 1)
(VII.2)
(VII.3)
1 Иногда квазистационарное приближение дает хорошие результаты и при
нарушении условия (VII. 1), например, в теории длинных линии. Подробнее
об этом см. [101] § 107.
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 101
Для разветвленной цепи дифференциальные уравнения, определяющие токи в
отдельных участках, могут быть составлены на основе законов Кирхгофа.
Если э. д. с. в линейном контуре наводится в результате электромагнитной
индукции, она может быть вычислена с помощью закона Фарадея:
= (V11-4)
с at
где Ф - поток вектора магнитной индукции через контур. Величина Ф может
изменяться как вследствие изменения магнитного поля, так и в результате
движения или деформации контура. Если имеется несколько индуктивно
связанных контуров, то полный поток магнитной индукции через г-й контур
Ф* выражается формулой
Ф i = \Y.Lik^k. (VII.5)
к
Здесь Ук - ток в к-м контуре, - при г ф к - коэффициент взаимной индукции
между г-м и к-м контурами, Ьц = Li - коэффициент самоиндукции г-го
контура. (Определение коэффициентов индуктивности приведено в начале гл.
V.)
Обобщенную силу, действующую на проводник с током в квазистаци-онарном
поле, можно вычислить по формуле
* = (Юу (т6)
в которой W обозначает магнитную энергию системы, - обобщенную координату
и производная берется при фиксированных значениях токов в проводниках.
Магнитная энергия выражается через токи и коэффициенты индуктивности
по тем же формулам, что и в статическом случае (см.
формулы (V.17), (V.20)).
При усреднении по времени произведений величин, меняющихся по
гармоническому закону
a(t) = аое~шг, можно пользоваться формулами
= i|a|2, a(t)b(t) = i Re(a6*). (VII.7)
Например, среднее тепловыделение в контуре можно вычислить по формулам
Q = ±Re(gJl*) = ±\Jl\2ReZ. (VII.8)
102
Глава VII
350. Круглая проволочная петля радиуса а, находящаяся в постоянном
магнитном поле Но, вращается с угловой скоростью о) вокруг своего
диаметра, перпендикулярного Но. Найти силу тока в петле тормозящий момент
N(t) и среднюю мощность Р, которая требуется для поддержания вращения.
351. Плоский контур с электрическими параметрами R,L,C и площадью S
вращается с угловой скоростью о) в постоянном магнитном поле Но вокруг
оси, лежащей в плоскости контура и перпендикулярной Но- Определить
средний тормозящий момент N, приложенный к контуру.
352. В одном из двух индуктивно связанных контуров течет
ток J?(t) = Индуктивности и сопротивления контуров заданы.
Выразить среднюю обобщенную силу взаимодействия контуров через
производную от коэффициента взаимной индукции по обобщенной координате
ft.
353. В один из двух одинаковых контуров, имеющих сопротивления R и
индуктивности L, включена э.д.с. S(t) = §oe~lult. Коэффициент взаимной
индукции контуров Ь\2- Определить среднюю силу F взаимодействия контуров.
Результат выразить через производную от коэффициента взаимной индукции по
соответствующей координате.
354. Определить собственные частоты oil, о)2 электрических колебаний в
двух контурах (рис. 17), связь между которыми осуществляется через ем-
K0CTbC'(Z= А)'
Указание. Составить систему алгебраических уравнений для определения
токов и приравнять нулю определитель системы.
355. Решить предыдущую задачу для случая, когда связь между контурами
осуществляется через индуктивность (см. рис. 17, Z = -iwL/c1).
356. Найти собственные частоты колебаний 0)1,2 в двух индуктивно
связанных контурах с емкостями С\, С-2, индуктивностями L\, и
коэффициентом взаимной индукции L12.
357. Два контура связаны друг с другом через активное сопротивление (см.
рис. 17, Z = R). Найти собственные частоты колебаний, считая связь слабой
(R велико).
"'¦ 1 1 ¦>
о Z О
о о>
° Г -1 О Ll "| г С, cJ L г ° " "20
0 О
0 о
V J
Рис. 17
§ 1. Квазистационарные явления в линейных проводниках 103
358. В контур с индуктивностью L\, емкостью С\ и сопротивлением Ri
включена сторонняя э.д. с. S(t) = §oe~luJt. С этим контуром индуктивно
связан второй контур, параметры которого 1,2, Сг, Ri, коэффициент
взаимной индукции Ь\ъ. Определить токи ^ и ^ в обоих контурах.
Рассмотреть, в частности, случай, когда второй контур содержит только
индуктивность (Лг = 0, Сг = оо); определить частоту ш, при которой ток
