Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
вектора к приходится строго один энергетический уровень в каждой
энергетической зоне. Следовательно, можно повторить и здесь уже известное
нам положение (стр. 71), что каждая энергетическая полоса содержит
столько
7.1. Приближение Кронига - Пенни
91
энергетических уровней, сколько элементарных ячеек содержит кристалл.
Сделаем здесь еще один важный вывод, заключающийся в том, что каждое
электронное состояние в кристалле необходимо нумеровать двумя квантовыми
числами: волновым вектором к или, что все равно, квантовым числом z, и
номером энергетической зоны п. Например, (fikn(r)¦ Причем волновой вектор
мы рассматриваем в схеме приведенных зон, т. е. в первой зоне Бриллюэна.
На модели Кронига-Пенни можно очень наглядно проследить, как квантовые
числа приближения свободных электронов (Р = 0) переходят в квантовые
числа, описывающие вырожденные энергетические состояния электронов в
изолированных атомах.
Рассмотрим под каким углом кривая зависимости энергии от волнового
вектора е внутри каждой зоны пересекает ее границу, f Имеем уравнение
Кронига-Пенни:
На каждой границе зоны, как видно из рис. 5, ка = пп, отсюда sin ка = 0.
Это значит, что дисперсионная кривая пересекает границу зоны под прямым
углом, что также весьма важно и носит совершенно общий характер. На рис.
6 приводится качественно дисперсионная зависимость е{к) при п = 1,
т. е. для первой зоны Бриллюэна. При к = ^ имеем - 0. Основной
особенностью приближения Кронига-Пенни является то обстоятельство, что
оно позволяет на основе одной схемы рассмотреть различные случаи
Дифференцируем его по /За, т. е. по энергии:
тт
а
Рис. 6
Поскольку ф 0, то необходимо, чтобы 'Щ- = 0. Имеем:
ара ак
_ 1
так как е 2 ф 0, то
(7.28)
ае п , 7г
= 0, при к = п~.
92
Лекция 7
одноэлектронных приближений, различающиеся энергией связи электрона. Все
выводы этого приближения носят всеобщий характер, утверждающий зонную
структуру энергетического спектра электрона в периодическом поле решетки.
В дальнейшем мы еще вернемся к приближению Кронига-Пенни в связи с
изучением локальных электронных состояний в металлах.
Лекция 8
8.1. Методы расчета энергетической зонной структуры
Рассмотренные ранее приближения позволили выяснить основную особенность
энергетического спектра электронов в металлах - его зонную структуру. Мы
условились в связи с этим каждому электронному состоянию сопоставлять два
квантовых числа: волновой вектор к в первой зоне Бриллюэна и номер
энергетической зоны п. Нам известно, что в каждой зоне имеется
определенное число состояний, равное числу значений волнового вектора в
первой зоне Бриллюэна, т. е. числу элементарных ячеек в кристалле. Каждое
состояние может быть заполнено, согласно принципу Паули, двумя
электронами с противоположными спинами. Нам необходимо знать, в какой
последовательности располагаются энергетические зоны, каков закон
дисперсии внутри каждой зоны, какова ширина разрешенной и запрещенной
зоны энергии, какова плотность состояний в области энергий, подверженных
тепловому возбуждению и т. д.
Расчеты зонной энергетической структуры металлов, призванные ответить на
эти вопросы, образуют область весьма тонких вычислительных методов,
которые в настоящее время хорошо освоены. На саму зонную структуру
большое влияние оказывает симметрия зон Бриллюэна и ячейки
кристаллической решетки, поэтому для расчетов таких структур характерно
использование теории групп. Она позволяет заметно упростить, а иногда и
уточнить расчеты, так как в точках высокой симметрии исходные
одноэлектронные уравнения Шредингера значительно упрощаются.
Число методов, использующихся при расчетах структуры энергетических зон,
достаточно велико. Однако, мы рассмотрим только наиболее важные из них,
применяемые при расчетах зон в металлах. Наше рассмотрение будет
сводиться к решению одноэлектронного уравнения Шредингера, считая, что
эффективный кристаллический потенциал (стр. 61) известен.
94
Лекция 8
Общей особенностью почти всех используемых методов расчета является то
обстоятельство, что они строятся на одноэлектронной основе и то, что
искомая функция ищется в форме разложения в ряд по какой-нибудь полной
системе известных функций, чаще всего по плоским волнам, либо по системе
произведений радиальных функций на сферические гармоники. Удобство такого
подхода заключается в возможности выбрать систему простых функций так,
чтобы удовлетворялись некоторые условия, накладываемые на искомую
функцию. Поскольку таким способом мы можем удовлетворить лишь части
необходимых требований, то выполнение остальных условий можно
потребовать, выбирая должным образом коэффициенты разложения.
Исключением из общей схемы построения методов расчета зонной структуры
является своеобразный по построению метод ячеек, который известен еще как
метод Вигнера-Зейтца.
8.1.1. Метод Вигнера-Зейтца (метод ячеек)
Если выбрать в качестве элементарной ячейки прямого пространства ячейку
Вигнера-Зейтца, то для плотноупакованных металлов граница элементарной
