Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
электрона в поле решетки в виде:
ОО
U(r) = U0 ${r-na), (7.1)
п= - оо
здесь ё(х) - дельта-функция Дирака. Таким образом, потенциальную энергию
электрона можно графически изобразить в форме ступенчатой кривой из
одинаковых элементов-ступенек (рис. 4), а - ширина потенциальной ямы, а о
- параметр решетки.
-№|Тп'птй: .
Рис. 4
84
Лекция 7
Запишем одномерное уравнение Шредингера для электрона, движущегося в
периодическом поле, аналогичное (5.5)
(р" + Ш[е_Щг)\1р = 0.
(7.2)
Мы уже знаем (стр. 63), что это линейное дифференциальное уравнение
второго порядка с периодическими коэффициентами. Решениями его, согласно
теореме Блоха, являются функции (5.6):
ip = eik-ru{r).
(7.3)
Эти решения полностью будут определены, если известна зависимость
величины к от коэффициентов уравнения (7.2). Подставим потенциал Крони-
га-Пенни (7.1) в уравнение (7.2):
п , 2 то
+w
-иО J2 sl'r-
ip = 0.
(7.4)
Рассмотрим это уравнение в главном интервале ступенчатости, т. е. там где
мы выбрали начало координат. Периодичность решетки обеспечивает нам
справедливость произвольного выбора начала координат:
v'{ + ^(e-U0)vi=0,
^2 + Т?г ?(Р'2 - 0) h
0 sj г ^ а.
Подставляем в эти уравнения функцию Блоха (7.3):
(7.5)
(7.6)
и" (г) + 2г ки'^г)
k2 + ^(Uo-s) h
Mi(г) = 0
^2 (г) + 2г ки'2(г) -Здесь удобно ввести обозначение:
2т,
U2{r) = 0.
2т/ТТ \ 2
- (t/о -е)=а , h
^е = в2
п2 р
(7.7)
(7.8)
7.1. Приближение Кронига - Пенни Тогда последние уравнения можно
переписать так:
и" (г) + 2г/ги^(г') - (к2 + а2) и\{г) = О
85
(7.9)
И
"2 (г) + 2г ки'2(г) - (к2 - /?2) и2(г) = 0. (7.10)
Решения этих уравнений хорошо известны и равны следующим выражениям:
Ui (г) = J4e^ife+a')r + В e-(*fe+")r (7Л1)
И
и2(г) = С ег{-к+^г + D е-г{к+^г. (7.12)
Решения для других участков потенциальной кривой (7.1) имеют тот же вид,
что и (7.11), (7.12), лишь постоянные отличаются на фазовый множитель.
Постоянные А, В, С, D следует выбрать, требуя, чтобы функция и{г) и ее
производная и'(г) были непрерывны в точках, соответствующих скачку
потенциала U(r), т. е. при г = 0, г = - b (г = а):
mi(0) = и2(0), и!(0) = и2(0), и[(-Ь) = и'2{а), { ' j
иг(-Ь) = и2(а).
Периодичность решетки позволяет утверждать, что условия непрерывности
(7.13) должны выполняться и во всех других точках разрыва потенциала
U(r). Присоединяя условия (7.13) к решениям (7.11) и (7.12), находим:
А+ В -С - D = 0, (i к - а)А + (г к + а)В - i (к - j3)C - г (к + j3)D = 0,
e(ik-a)b _|_ e(ik+a)b _ q (-k+/3)a _ &-i (k+0)a _
(г к - a) A e{i k~a)b + (ik + a)B e{i k+a)b-
-i (к - (3)C ei (-fc+^)a -i(k + [i)D e~l ^k+^a = 0.
Запишем определитель этой системы уравнений относительно произволь-
86
Лекция 7
ных постоянных:
(ik - a) (ik + a) -i(k - {3) - i(k + [3)
e-(ik - a)b e~{ik+a)b ei(k-(3)a еЦк+(3)а
e(ik-a)b g(ik + a)b _ ei(-k+0)a _ g-i(fc+/3)a
(ik - a) (ik + a) -i(k - /3) - i(k + /3)
11-1-1
Разрешим его, последовательно подсчитывая определители третьего порядка,
относительно волнового вектора к. Имеем, после перехода к
тригонометрическим и параболическим функциям:
Это выражение дает важную связь волнового вектора к с параметрами а и /3.
Так как, согласно (7.7) и (7.8), имеем
то, задавая волновому вектору различные значения, можно найти зависимости
а(к) и (3(к), или е(к).
Используя зависимость (7.14), затем можно было бы определить и сами
функции и(г). Однако прямое решение уравнения (7.14) не возможно
вследствие его трансцендентности. Согласно Кронигу-Пенни, это уравнение
может быть значительно упрощено в предельном случае малых толщин
потенциальных барьеров. Пусть Ь стремится к нулю, с другой стороны можно
потребовать, чтобы обрезающий потенциал Uq стремился к бесконечности. С
учетом этих условий и условия (7.15) уравнение (7.14) упрощается:
(7.15)
( м /О , 2ттт и s'm(Pa) cos(ak) = cos (pa) + -угиф---.
nr 2p
(7.16)
Мы использовали здесь:
sh(a6) " ab, ch(a6) w 1 при 6^0.
Введем обозначение
(7.17)
7.1. Приближение Кронига - Пенни
87
чтобы величина Р оставалась постоянной, можно потребовать постоянства иф
при переменных Uq и Ь.
С учетом введенных обозначений выражение (7.16) принимает вид:
Это хорошо известное уравнение Кронига-Пенни, определяющее явную связь
между собственным значением энергии е и волновым вектором к. Величина Р
теперь является приведенным обрезывающим потенциалом.
Очевидно, что если правая часть уравнения (7.18) будет меньше единицы, то
волновой вектор является вещественным числом и решения (7.11) и (7.12)
имеют смысл, если правая часть больше единицы, то к есть мнимая величина
и (7.11) и (7.12) обращаются в бесконечность. Трансцендентное уравнение
(7.18) уже можно решить графически для любого значения вектора к. Для
этого построим зависимость правой части уравнения от /За; Если [За = 0,
то, учитывая, что
С ростом [За до +тт эта функция убывает, становясь равной -1 при тт =
[За, при (За > тт функция продолжает убывать и, достигая минимума, затем
вновь растет, принимая при [За = 2тт значение +1. Далее при [За > 2тт она
