Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Используя эти граничные условия (5.29) в одномерном случае при
доказательстве теоремы Блоха, мы получили для разрешенных значений
волнового числа выражение (5.14):
к = %?, (5.30)
5.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металла 69
где z = 1, 2, N. Однако, выбирая обратную ячейку в виде
зоны
Бриллюэна, т. е. в одномерном случае в виде центрированного
отрезка,
необходимо взять для изменения величины z интервал
-\n<z<\n. (5.31)
Это значит, что мы из многих возможных эквивалентных вариантов выбора
обратной ячейки выбрали центрированную ячейку, т. е. первую зону
Бриллюэна. Таким образом, все возможные значения волнового числа к в
приведенной схеме зон Бриллюэна заключены в интервале
< к < |. (5.32)
Придавая величине z значения на отрезке (5.31), можно получить набор всех
возможных величин к, лежащих в интервале (5.32). Значения к распределены
в этом интервале с постоянной плотностью и, поскольку величина N очень
велика, то можно сказать, что непрерывно. Эти результаты можно
непосредственно перенести на трехмерный случай, считая, что выбранный
макрокристалл имеет размеры N\ а\, N2CI2, N3 аз и для каждого из
пространственных направлений выполняются, подобно (5.8), циклические
условия. Выполнение их требует справедливости для трех составляющих fci,
fca, к> по осям обратного пространства вектора к необходимых условий:
27Г21 2-KZ2 , , 27Г23
1 = ИГ Ьг = -щ-ь, = ~W
здесь bi = есть, согласно представлению (5.22), базис обратного
пространства. Таким образом, получаем, что значения вектора к
определяются выражением
2тГ21 27Г22 27Г23
к= "Г,>1+яГЬг+ <5-33)
Набор всех возможных значений волнового вектора к можно найти, беря
величины Zi из области
JVi N, N2 N, N3
2 1 2 ' 2 2 2 ' 2 3 2 ' ^ ^
Эта область представляет собой параллелепипед с центром в начале
координат. Поскольку эта область эквивалентна объему первой зоны
Бриллюэна, которую мы выбрали за основную ячейку обратной решетки, то и в
70
Лекция 5
зоне Бриллюэна находится N\ х Дто х N:> разрешенных значений волнового
вектора к. Итак, зона Бриллюэна содержит столько допустимых значений
вектора к, сколько элементарных ячеек содержит макрокристалл. Увеличение
размеров макрокристалла просто увеличивает плотность состояний в fc-
пространстве.
Пусть объем макрокристалла, содержащего N3 ДТ| ¦ ДТ2 • Дтз ячеек,
равен v, тогда на одну ячейку приходится объем vn =
(v/N3) прямого
пространства. Этот объем связан с объемом ячейки обратного пространства
соотношением (5.28):
"об = %^3.
Отсюда можно легко найти объем обратного пространства, непосредственно
связанный с данным волновым вектором к
"об _ 87Г3 (Г
N3 - V ¦
Обратная этому значению величина очевидно представляет число разрешенных
значений вектора к в единице объема fc-пространства:
5S = (5J6)
и служит весовым множителем при переходе от суммирования к интегрированию
в обратном пространстве (ЗЛО).
Лекция 6
6.1. Энергетический спектр электрона в поле с периодическим потенциалом
Как и раньше, нас будет интересовать в рассматриваемой модели, главным
образом, основная характеристика электронного газа - закон дисперсии, т.
е. связь энергии с квазиимпульсом. Сейчас у нас имеются все необходимые
сведения, позволяющие найти явный вид этого закона. До сих пор нам
приходилось иметь дело с квадратичным по квазиимпульсу дисперсионным
соотношением, вытекающем из приближения свободных электронов. Оно
утверждало, что энергия является непрерывной функцией волнового вектора
при всех его значениях.
Итак, рассмотрим энергетический спектр электронного газа, слабо
возмущенного периодическим полем решетки. Такое приближение для
одноэлектронной модели известно как приближение почти свободных
электронов. Обратимся непосредственно к одномерной модели и разберем
математическую сторону вопроса, а затем остановимся на физических
предпосылках приближения.
Прежде всего используем свойство периодичности потенциала решетки U (г) и
разложим его в ряд Фурье по векторам обратной решетки, так же, как мы
ранее разлагали в ряд функцию Uk{r):
U{r) = '^2unexp(i Gn ¦ г), (6.1)
П
здесь Un - Фурье-образ потенциала U(г). Выражение (6.1) показывает, что
потенциал U(г) представляет собой функцию, определенную на дискретном
пространстве узлов решетки. Предположим, что U(г) есть слабое возмущение
и воспользуемся обычной теорией возмущений, беря за основное состояние
свободный электронный газ, т. е. плоские волны и энергию
72
Лекция 6
t- z i, z
= --. Для энергии возмущенного состояния получаем:
*2*2 г h, h ^ \fe->k,-rU(ry^d3r
_ /о Л/ | / _ - гк -гтт(г"\"гк-гл6" | \ I
+ f e~lk'-rU(ryk-rd3r + J2
J b>
(6.2)
2 m J W V El- El,
*-2 i,2
здесь E^, = ----энергия невозмущенного состояния.
Рассмотрим матричный элемент
Mkk. = f e-lk'-rU(r)elkr d3r = j ^Unel{k-k'+G">r d3r,
П
здесь использовано соотношение (6.1). Согласно правилу отбора Mkk/ = =
Un, если к - к' + Gn = 0, и Мкк> = 0, если к - к' + Gn ф 0. Следо-
П
вательно, периодичность потенциала U(r) накладывает на матричные элементы
