Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
вектора обратной решетки для того, чтобы при разложении функции по
векторам обратной решетки запись совпадала с принятым определением
волновой функции свободного электрона
срк(г)=егк-г.
Если вектор R есть вектор трансляции прямой решетки
R = ziai + z2aa + z3a3,
то скалярное произведение G ¦ R равно
G ¦ R = 2nriiZi = 2nml (i = 1, 2, 3). (5.23)
Введенная таким образом обратная решетка является инвариантным
геометрическим объектом, свойства которого играют важную роль в теории
металлов. Рассмотрим плоскую волну с вектором обратной решетки G:
exp(i G ¦ г) = f(G, г). (5.24)
Подействуем на эту функцию трансляционным оператором Тц:
TrJ(G, г) = f(G, r + R) = ехр(г G ¦ (г + R)) = ехр(г G ¦ R) ехр(г G ¦ г).
Используя здесь выражение (5.23), находим
TRf(G, г) = e"2(tm)beiG-'\ (j = 1,2,3). (5.25)
Таким образом, функции вида (5.24) обладают полной трансляционной
периодичностью решеточного потенциала. Такой же периодичностью обладают и
функции Mfc(r), согласно (5.17). Поэтому их можно разложить в ряд Фурье
по функциям (5.24):
Uk = ^cfcnexp(i Gn ¦ г). (5.26)
П
5.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металла
67
Тогда блоховская функция (5.6) может быть записана в форме
Vk{r) = ^cfc"exp(i(fc + Gn) ¦ г). (5.27)
П
Это представление волновой функции электрона в периодическом поле
является особенно важным при расчете электронных состояний. Отметим
кратко некоторые свойства обратной решетки:
1. Каждый вектор обратной решетки G ортогонален некоторой плоскости,
образованной атомами прямой решетки.
2. Длина вектора |б?| обратно пропорциональна расстоянию между
соответствующими атомными плоскостями.
3. Объем ?;0г, обратной ячейки обратно пропорционален объему ячейки
прямой решетки:
Уоб = Щ~- (5.28)
иП
5.1.5. Зоны Бриллюэна
В обратном пространстве удобно выбрать элементарную ячейку аналогично
ячейке Вигнера-Зейтца в прямой решетке. Эта ячейка называется первой
зоной Бриллюэна и содержит те точки обратного пространства, которые
находятся ближе к центру ячейки, чем к любой другой точке. Обратными
векторами G здесь будут являться вектора, соединяющие два любых узла
обратной решетки. Отсюда хорошо видно, что если состояние электрона
определяется волновым вектором к, то другое состояние электрона к' = к +
G будет ему эквивалентно. Действительно, так как
^ik-R ^ik'-R gik-R^i G R ^ik-R
что справедливо для любого вектора R прямой решетки. Следовательно,
волновые функции, описывающие состояния к и к' должны быть тождественны.
Итак, для всех точек, лежащих вне зоны Бриллюэна всегда найдутся
эквивалентные им точки внутри зоны Бриллюэна, а каждой точке на
поверхности зоны Бриллюэна найдется эквивалентная точка, лежащая также на
поверхности зоны. Иначе говоря, любую точку к в обратном пространстве
можно привести к соответствующей точке в первой зоне Бриллюэна. Это
значит, что любую волновую функцию можно описать в схеме приведенных зон,
так же как и в схеме расширенных зон. Важным выводом
68
Лекция 5
этих рассуждений является утверждение, что все состояния электронов в
периодическом поле решетки характеризуются значениями волнового вектора
к, лежащими внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна. Отсюда
следует, что энергия электронных состояний будет многозначной функцией
волнового вектора к. Непосредственно мы убедимся в этом, рассматривая
энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле
решетки.
5.1.6. Число электронных состояний в зоне Бриллюэна
Подсчет разрешенных электронных состояний, т. е. значений волнового
вектора к, в кристалле можно осуществить, присоединяя циклические
граничные условия Борна-Кармана. Мы уже дважды использовали эти условия
при подсчете электронных состояний в модели свободных электронов и при
доказательстве теоремы Блоха. Сейчас мы обсудим этот вопрос несколько
подробнее. Дело в том, что рассмотрение бесконечных кристаллических
структур требует бесконечного ряда волновых функций. Однако, можно
избежать этой трудности, используя трансляционную симметрию
кристаллической решетки. Суть процедуры заключается в следующем:
Формально кристалл можно разбить на ряд микрокристаллов, содержащих
конечное число элементарных ячеек, например N ячеек, в каждом из трех
пространственных направлений. Потребуем, чтобы при этом удовлетворялись
граничные условия:
ip к (г + Na) = ipk (г). (5.29)
Принятое деление, естественно, носит произвольный характер. Однако,
отметим, что оно и необходимо нам как математический прием с тем, чтобы
получить обозримый объект, впоследствии же можно перейти к пределу,
устремляя число N к бесконечности. Сами граничные условия Борна-Кармана
(5.29) наглядно можно осуществить в одномерном случае, беря замкнутую
кристаллическую цепочку. Трехмерный вариант этих условий реально
представить уже невозможно, но это не должно вызывать каких-либо
сомнений, поскольку эти граничные условия не вносят никаких изменений в
рассматриваемую физическую картину.
