Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Сборник задач по электродинамике" -> 20

Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике — М.: НИЦ, 2002. — 640 c.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpoelektrodinam2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 177 >> Следующая

являющуюся решением уравнения (5.5), можно записать в виде
Tn<Pk(r) = <Pk{r + na). (5.10)
Будем искать только такие собственные значения оператора Тп, для которых
справедливо равенство
ТпРк(г) = сп<рк(г) (5.11)
5.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металла 63
Сп - собственное значение оператора Тп. Запишем (5.11), полагая п = 1
и
n = N:
Ti<Pk(r) = С1<рк(г) = (fik{r + a), (5.12)
Ты<Рк(г) = (c{)Nipk(r) = (fik{r + Na). (5.13)
Используя циклические условия (5.8), находим из (5.13)
(ci)N = 1,
или
d = (1)" , z = 1, 2, ..., N.
Согласно определению (3.8) волнового числа к имеем
т = к' (5Л4)
отсюда
ci = eika. (5.15)
Таким образом, для произвольной трансляции па, используя (5.10), (5.11) и
(5.15), находим
<pk(r + na)=eikna<pk(r). (5.16)
Здесь ехр(г кпа) является собственным значением оператора Тп, а <рк(г) -
его собственная волновая функция. Условиям (5.16) удовлетворяет функция
Блоха (5.6). Покажем это:
ipk(r + па) - e*fc^+na^u/j(r + па) -
= е^гргкпа ик^г + = егкпаегкг ^ + пау
Так как согласно условиям теоремы функция ик(г) периодическая с
периодом решетки, то
ик(г) = ик{г + па). (5.17)
Таким образом, имеем
<рк(г + па) = егкпаегкгик(г) = eikna<pk(r).
Это и доказывает теорему Блоха.
64
Лекция 5
Отметим, что функция y>fc(r), описывающая электрон в состоянии к,
является собственной функцией оператора Блоха Hs и оператора трансляций
Т. Из теоремы Блоха следует ряд важных следствий. Так, каждая волновая
функция электрона в периодическом потенциальном поле характеризуется
волновым вектором к. Елоховская волновая функция
4>к{г) = егк'гик(г)
имеет сходство с волновой функцией свободного электрона, т. е. с плоской
волной:
Мг)=АегЬг.
Отличие, как хорошо видно, заключается только в модулирующем множителе. В
связи с этим многие свойства электрона в периодическом поле аналогичны
свойствам свободного электрона. Волновой вектор к вводится с точностью до
вектора обратной решетки и потому состояния электрона с волновыми
векторами к и к + G эквивалентны.
5.1.2. Точечная и трансляционная симметрия идеальной кристаллической
структуры
Кристаллическая решетка представляет собой систему определенным образом
расположенных в трехмерном пространстве точек, занимаемых ионами металла.
Характерным элементом кристаллической решетки является элементарная
ячейка, которая геометрически задается совокупностью трех некомпланарных
векторов (в простейшем случае) (г = 1, 2, 3). Если выбрать точку отсчета,
то из нее можно построить любой узел решетки, используя элементы
трансляций:
I = lidi (г = 1,2, 3), li - целые числа.
Таким образом, весь кристалл строится путем бесконечного повторения
элементарных ячеек. Элементы трансляционной симметрии будут в основе
многих последующих рассуждений.
5.1.3. Элементарная ячейка кристаллической структуры. Ячейка Вигнера
- Зейтца
Для каждой кристаллической структуры существует некоторый произвол в
определении формы элементарной ячейки. В связи с этим очень удобно
использовать центрированные элементарные ячейки - ячейки Вигнера-
5.1. Электронный газ в периодическом поле ионов металла
65
Зейтца, которые, как будет видно далее, играют важную роль в электронной
теории металлов. Такую ячейку можно построить согласно следующему
правилу: из выбранного центрального узла проводим векторы к ближайшим
узлам решетки и строим плоскости через середины этих векторов и
перпендикулярно к ним. Возникающая область с центральным узлом есть
элементарная ячейка Вигнера-Зейтца. Если элементарная ячейка содержит
один атом, то структуру называют решеткой Бравэ, в противном случае имеем
решетку с базисом. Базисом определяется совокупность векторов,
характеризующих положение атомов ячейки относительно одного из них.
Ячейка Вигнера-Зейтца обладает тем свойством, что все точки решетки,
принадлежащие ячейке, находятся ближе к центру ячейки, чем к какому-
нибудь другому узлу решетки. Удобство этой ячейки еще и в том, что она
лучше всего аппроксимирует сферу, которую всегда приписывают атому в
формальных моделях упаковки его в кристалле.
5.1.4. Обратная решетка
Элементарная ячейка считается заданной, если задана минимальная
совокупность векторов, определяющих узлы ячейки относительно данного
узла. В таком случае элементарную ячейку можно задать матрицей
где элементы матрицы являются прямоугольными проекциями составляющих
ячейку векторов. Такой ячейке можно сопоставить другую ячейку, задаваемую
обратной матрицей
(5.18)
(В)а = (А)?.
(5.19)
Поскольку (A)ij(B)ij = 1, то необходимо, чтобы
&ijbij - ^i/j ¦
(5.20)
или
• bj - 6ij.
(5.21)
Таким образом, векторы bj обратны векторам базиса а, и представляют собой
базис обратной решетки. Так, если вектора X и Y определены как
X = Xidi, Y = yibi, то X ¦ Y = Xiyi.
66 Лекция 5
Определим вектор обратной решетки из набора:
G = ni27rbi + П22тгЬ2 + пз27гЬз, (5.22)
где rij - целые числа, в том числе отрицательные и нуль. Концы векторов G
образуют обратную решетку. Множитель 2тг сразу введен в определение
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 177 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed