Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
времени, и среднеквадратичным значением силы тока в контуре.
Если проводник находится во внешнем магнитном поле, удовлетворяющем
условию квазистационарности (VII. 1), то вблизи проводника поле
удовлетворяет в каждый момент времени уравнениям магнитостатики
Внутри проводника при достаточно большой проводимости о {сг/и 2> е', где
е? - вещественная часть диэлектрической проницаемости) поле описывается
уравнениями (VII. 10) и
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
div В = 0, rot Н = 0
(VII.9)
и уравнению
(VII. 10)
div В = 0, rotH = %^E.
(VII. 11)
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
107
Из (VII. 10) и (VII. 11) можно получить уравнения второго порядка для
векторов Б и Н, имеющие в случае однородной среды вид
AE=^f- <(tm)Л2>
На границах раздела двух проводников или проводника и диэлектрика векторы
поля должны удовлетворять условиям:
В1п = В2п, Я1т = Я2т, ElT = E2T. (VII. 13)
Величина 5 = с/у/2щшш (толщина скин-слоя) характеризует глубину
проникновения поля в проводник (ш - частота поля). При сильном скин-
эффекте в некотором приближении можно считать, что поле проникает в
проводник на нулевую глубину; тогда внутри проводника Н = 0, а вне
проводника, у его поверхности, поле связано с плотностью поверхностного
тока i соотношением
H = ^ixn. (VII. 14)
Вследствие возникновения вихревых токов проводник, помещенный в магнитное
поле, приобретает магнитный момент, даже если у него fj, = = 1. Для
характеристики этого магнитного момента удобно ввести тензор магнитной
поляризуемости тела 0ik по формуле
rrii = 0ikHok, (VII. 15)
где m - магнитный момент тела, Но - периодическое внешнее магнитное поле.
Тензор 0ik симметричен (/3^ = /3^), а его компоненты в общем случае
комплексны и зависят от частоты.
Среднее (по времени) тепловыделение внутри проводника может быть
подсчитано по одной из следующих формул:
Q = J (JTE) dV = J аЕ2 dV (VII. 16)
ИЛИ
Q = -?-ji(WxH)-dS. (VII. 17)
В первой из этих формул интеграл берется по объему проводника, во второй
- по его поверхности. Q выражается также через мнимую часть тензора
магнитной поляризуемости тела (0ik = 0'ik + Щ'к):
Q = %0"kMHOiH5k)- (VII. 18)
Последняя формула справедлива только при гармонической зависимости поля
от времени.
108
Глава VII
378. Широкая плита с проводимостью а и магнитной проницаемостью ц,
ограниченная плоскостями х = ±h, обмотана проводом, по которому протекает
ток Провод тонкий, число витков на единицу
длины п, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевым
эффектом, определить вещественную амплитуду магнитного поля внутри плиты.
Исследовать предельные случаи слабого (i > Л) и сильного (S <С h) скин-
эффекта.
379*. Металлический цилиндр бесконечной длины с проводимостью и и
магнитной проницаемостью ц расположен так, что его ось совпадает с осью
бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет переменный
ток У = Найти напряженность магнитного и элек-
трического поля во всем пространстве, а также распределение плотности
тока j в цилиндре; радиус цилиндра а, радиус соленоида Ь, число витков на
единицу длины п.
380. Проводящий цилиндр находится в однородном переменном магнитном поле
Н = Нае~шЬ, параллельном его оси. Используя результаты предыдущей задачи,
исследовать распределение тока j внутри цилиндра в предельных случаях
малых и больших частот.
381. Подсчитать количество тепла Q, выделяющегося за единицу времени на
единице длины цилиндра, рассмотренного в задаче 379*. Исследовать
предельные случаи малых и больших частот.
382. Найти магнитную поляризуемость /3 (на единицу длины) цилиндра,
находящегося в переменном магнитном поле, параллельном его оси. Частота
поля ш, радиус цилиндра а, проводимость и, магнитная проницаемость ц = 1.
Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот.
383*. Металлический цилиндр находится во внешнем однородном магнитном
поле Н = Ное-*"4, перпендикулярном его оси. Радиус цилиндра а,
проводимость а, магнитная проницаемость ц = 1. Найти результирующее поле
и плотность тока j в цилиндре.
УКАЗАНИЕ. Выразить Б и Н через векторный потенциал А и проинтегрировать
дифференциальное уравнение для А.
384. Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконечного проводящего
кругового цилиндра, помещенного в поперечное относительно оси цилиндра
магнитное поле, меняющееся с частотой ш.
385*. Бесконечный круговой цилиндр радиуса а с проводимостью сг находится
в поперечном относительно его оси магнитном поле, поляризованном по
кругу:
Но(*) = (Но1+гНо2)е-^,
§ 2. Вихревые токи и скин-эффект
109
где Hoi и Н02 - взаимно перпендикулярные векторы с одинаковыми длинами:
Яо1 = Hq2 = Hq. (Вектор Ho(i) описывает окружность постоянного радиуса Но
в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра.) Найти средний вращательный
момент N, приложенный к единице длины цилиндра (ц = 1).
386. Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном и однородном
поперечном магнитном поле Но, вращается вокруг своей оси с угловой
скоростью из. Найти тормозящий момент N, приложенный к единице длины
